Jeffreys antes para probabilidade binomial

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Se eu usar um Jeffreys anterior para um parâmetro de probabilidade binomial , isso implica o uso de uma distribuição .θθbetuma(1 1/2,1 1/2)

Se eu me transformar em um novo quadro de referência então claramente também não será distribuído como uma distribuição .ϕ=θ2ϕbetuma(1 1/2,1 1/2)

Minha pergunta é: em que sentido Jeffreys é invariante antes de reparameterizações? Acho que estou entendendo mal o tópico para ser honesto ...

melhor,

Ben

ben18785
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O prior de Jeffreys é invariável no sentido de que começar com um Jeffreys anterior para uma parametrização e executar a alteração apropriada da variável é idêntico ao derivar o Jeffreys anterior diretamente para essa nova parametrização. Na verdade, equivariante seria um termo mais apropriado que invariante .
Xi'an
@ ben18785: dar uma olhada em stats.stackexchange.com/questions/38962/...
Zen
Veja também math.stackexchange.com/questions/210607/… (mais ou menos a mesma pergunta que eu penso, mas em um site diferente).
Nathaniel
Veja também stats.stackexchange.com/questions/139001/…
Christoph Hanck 6/19

Respostas:

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Vamos ter ϕ=g(θ) , onde g é uma função monótona de θ e seja h o inverso de g , de modo que θ=h(ϕ) . Podemos obter a distribuição prévia de Jeffrey pJ(ϕ) de duas maneiras:

  1. Comece com o modelo binomial (1)
    p(y|θ)=(ny)θy(1θ)ny
    reparameteriza o modelo comϕ=g(θ)para obter
    p(y|ϕ)=(ny)h(ϕ)y(1h(ϕ))ny
    e obtenha a distribuição prévia de JeffreypJ(ϕ)para este modelo.
  2. Obtenha a distribuição anterior de Jeffrey pJ(θ) do modelo binomial original 1 e aplique a fórmula de mudança de variáveis ​​para obter a densidade anterior induzida em ϕ
    pJ(ϕ)=pJ(h(ϕ))|dhdϕ|.

Para ser invariante ao meio reparameterisations que densidades pJ(ϕ) derivada de ambos os modos deve ser o mesmo. O prior de Jeffrey tem essa característica [Referência: Um Primeiro Curso em Métodos Estatísticos Bayesianos de P. Hoff .]

Para responder seu comentário. Para obter a distribuição prévia de Jeffrey pJ(θ) partir da probabilidade do modelo binomial

p(y|θ)=(ny)θy(1 1-θ)n-y
devemos calcular as informações de Fisher tomando o logaritmo da probabilidadeeue calcular a segunda derivada deeu
eu: =registro(p(y|θ))yregistro(θ)+(n-y)registro(1 1-θ)euθ=yθ-n-y1 1-θ2euθ2=-yθ2-n-y(1 1-θ)2
e as informações de Fisher são
I(θ)=E(2lθ2|θ)=nθθ2+nnθ(1θ)2=nθ(1θ)θ1(1θ)1.
O prior de Jeffrey para este modelo é
pJ(θ)=I(θ)θ1/2(1θ)1/2
que ébeta(1/2,1/2).

Marko Lalović
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Obrigado pela sua resposta. Com medo de estar sendo um pouco lento. Em que sentido podemos obter um prior a partir de uma probabilidade? Eles são duas coisas distintas, e que este último não implica o antigo ...
ben18785
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pJ(θ)