Propriedade de soma zero da diferença entre os dados e a média

Sou novo em estudos estatísticos e neste site e me deparei com a "propriedade de soma zero" no meu livro sobre a média. Parece ser simples, mas ainda não consigo entender a noção. A única informação fornecida com a fórmula é

a soma da diferença entre cada valor de uma variável , anotada , e o valor médio de , anotada como , é igual a zero.$Y$$Y_i$$Y$$\bar Y$

Alguém poderia explicar melhor o conceito?

Você já tem respostas mais formais. Essa resposta deve lhe dar alguma "intuição" por trás da matemática.

A média aritmética é sensível aos seus dados (incluindo valores discrepantes) . Imagine uma alavanca , como a ilustrada abaixo. Seus dados são as bolas laranja que se encontram em uma viga (imagine que seja um eixo x de algum tipo de gráfico e seus dados sejam valores espalhados em várias posições). Para que a haste esteja na posição horizontal, a dobradiça precisa ser colocada em um local que equilibre as bolas. Você pode se lembrar da física elementar (ou apenas das experiências de playground da sua infância), que a colocação das bolas desempenha um papel no quanto elas influenciam a alavanca. As bolas "periféricas", como as chamamos nas estatísticas, têm uma influência muito maior do que as bolas desordenadas em torno do "centro". Média é o valor que coloca a dobradiça na posição exata que equilibra a alavanca.

Então, podemos dizer que a média está no centro, entre os valores. O centro é definido em termos de distâncias (ou seja, diferenças) entre os pontos e a média. Como está no centro, esperamos que as distâncias sejam equilibradas, ou seja, zerem uma à outra, portanto a soma das distâncias precisa ser zero e a média possui essa propriedade (e apenas a média).

Verifique também a média aritmética relacionada . Por que isso funciona? thread em math.stackexchange.com.

deixar que ser n valores de observação de uma variável Y e deixar ¯ y : = $y_1,y_2, \dots, y_n$$n$$Y$denota a média aritmética das observações. A propriedade de soma zero pode ser escrita matematicamente como: 0= n ∑ i=1(yi- ¯ y ). Prova:por definição de ¯ y , temosn ¯ y =n$\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

$$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$$ $\overline{y}$e, portanto: n ∑ i=1(yi- ¯ y )= n ∑ i=1yi-n ¯ y =n ¯ y -n ¯ y =0.Interpretação:Observe que(yi-$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$ $$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$$ é essencialmente o "distância" entre a observaçãoyie a média aritmética ¯ y onde as informações meteorológicas a observação é menor ou maior do que a média aritmética ainda é preservada através do sinal de(yi- ¯ y )(naturalmente , a distância em si teria que ser não-negativa e seria|yi- ¯ y |).$(y_i - \overline{y})$$y_i$$\overline{y}$$(y_i - \overline{y})$$|y_i-\overline{y}|$

$\overline{y}$$Y$$\overline{y}$$Y$$\overline{y}$

De fato, é fácil ver pela prova de que esse é o único número para o qual essa propriedade é válida.

Obviamente, você poderia usar essa propriedade para verificar se os cálculos da média estavam corretos.

Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Tome três números: 1, 2 e 3.

O valor médio é 2

As diferenças entre valores e uma média são:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

A soma dessas diferenças é

-1 + 0 + 1 = 0

A propriedade de soma zero afirma que, independentemente dos números com os quais você começa, um resultado (soma das diiferências entre eles e sua média) seria 0

$\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

$$x_1,x_2,x_3,...,x_n$$ $$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ $\sum (x_i - \overline{x})$ $$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$$ $$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$$ $$\sum x_i-\sum x_i$$ $$=0$$