Propriedade de soma zero da diferença entre os dados e a média

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Sou novo em estudos estatísticos e neste site e me deparei com a "propriedade de soma zero" no meu livro sobre a média. Parece ser simples, mas ainda não consigo entender a noção. A única informação fornecida com a fórmula é

a soma da diferença entre cada valor de uma variável , anotada , e o valor médio de , anotada como , é igual a zero.YYEuYY¯

Alguém poderia explicar melhor o conceito?

MK Qn
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Respostas:

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Você já tem respostas mais formais. Essa resposta deve lhe dar alguma "intuição" por trás da matemática.

A média aritmética é sensível aos seus dados (incluindo valores discrepantes) . Imagine uma alavanca , como a ilustrada abaixo. Seus dados são as bolas laranja que se encontram em uma viga (imagine que seja um eixo x de algum tipo de gráfico e seus dados sejam valores espalhados em várias posições). Para que a haste esteja na posição horizontal, a dobradiça precisa ser colocada em um local que equilibre as bolas. Você pode se lembrar da física elementar (ou apenas das experiências de playground da sua infância), que a colocação das bolas desempenha um papel no quanto elas influenciam a alavanca. As bolas "periféricas", como as chamamos nas estatísticas, têm uma influência muito maior do que as bolas desordenadas em torno do "centro". Média é o valor que coloca a dobradiça na posição exata que equilibra a alavanca.

Uma alavanca

Então, podemos dizer que a média está no centro, entre os valores. O centro é definido em termos de distâncias (ou seja, diferenças) entre os pontos e a média. Como está no centro, esperamos que as distâncias sejam equilibradas, ou seja, zerem uma à outra, portanto a soma das distâncias precisa ser zero e a média possui essa propriedade (e apenas a média).

Verifique também a média aritmética relacionada . Por que isso funciona? thread em math.stackexchange.com.

Tim
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Isso vale para o estimador médio simples de baunilha, não para a média populacional (no limite) ou para estimadores médios mais sofisticados. De fato, a maioria dos estimadores de retração produz uma média mais baixa (em termos absolutos) em comparação com o estimador de baunilha; portanto, esse nível realmente não se equilibra.
Cagdas Ozgenc
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@CagdasOzgenc Estou explicitamente afirmando que isso se aplica à média aritmética.
Tim
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Não é uma crítica. Observações adicionais. As outras respostas não foram abrangentes o suficiente para comentar.
Cagdas Ozgenc
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deixar que ser n valores de observação de uma variável Y e deixar ¯ y : = 1y1,y2,,ynnYdenota a média aritmética das observações. A propriedade de soma zero pode ser escrita matematicamente como: 0= n i=1(yi- ¯ y ). Prova:por definição de ¯ y , temosn ¯ y =n1y¯: =1nEu=1nyEu

0 0=Eu=1n(yEu-y¯).
y¯e, portanto: n i=1(yi- ¯ y )= n i=1yi-n ¯ y =n ¯ y -n ¯ y =0.Interpretação:Observe que(yi- ¯ny¯=n1nEu=1nyEu=Eu=1nyEu
Eu=1n(yEu-y¯)=Eu=1nyEu-ny¯=ny¯-ny¯=0
é essencialmente o "distância" entre a observaçãoyie a média aritmética ¯ y onde as informações meteorológicas a observação é menor ou maior do que a média aritmética ainda é preservada através do sinal de(yi- ¯ y )(naturalmente , a distância em si teria que ser não-negativa e seria|yi- ¯ y |).(yEu-y¯)yEuy¯(yEu-y¯)|yEu-y¯|

y¯Yy¯Yy¯

De fato, é fácil ver pela prova de que esse é o único número para o qual essa propriedade é válida.

Obviamente, você poderia usar essa propriedade para verificar se os cálculos da média estavam corretos.

BloXX
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Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Tome três números: 1, 2 e 3.

O valor médio é 2

As diferenças entre valores e uma média são:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

A soma dessas diferenças é

-1 + 0 + 1 = 0

A propriedade de soma zero afirma que, independentemente dos números com os quais você começa, um resultado (soma das diiferências entre eles e sua média) seria 0

Łukasz Deryło
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(xEu-x¯)=0 0

x1,x2,x3,...,xn
x¯=xEun
(xEu-x¯)
(xEu-x¯)=(x1-xEun)+(x2-xEun)+(x3-xEun)+...+(xn-xEun)
x1+x2+x3+...+xn-(nxEun)
xEu-xEu
=0 0
Chris Wilson
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