Decompondo a distribuição normal

Existe uma distribuição somente positiva, de modo que a diferença de duas amostras independentes dessa distribuição seja normalmente distribuída? Em caso afirmativo, ele possui uma forma simples?

distributions probability Martin O'Leary
fonte

Pergunta interessante! A distribuição normal é infinitamente decomposta, o que significa que você sempre pode escrevê-la como a distribuição de uma soma

de um número arbitrário

de variáveis aleatórias. Mas essa não é a questão.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

Xian

Se você chegar à função geradora de momento, a questão é se

permite a uma solução (em

) que é uma função de geração de momento de uma variável positiva ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

Xian

Você está correto, @Dilip: uma diferença de meias-normais não tem uma distribuição normal. O problema não está na variação da diferença: a própria forma da distribuição não é normal (sua curtose é muito alta).

whuber

Embora isso seja óbvio, pode ser interessante notar que a declaração está aproximadamente correta. Depois de tudo, a diferença de um

variável e um

variável tem um

de distribuição e, escolhendo

suficientemente grande, pode-se fazer a chance de que qualquer variável seja negativa tão pequena quanto desejado.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

whuber

Respostas:

A resposta para a pergunta é Não, e decorre de uma famosa caracterização de distribuições normais.

Suponha que e são variáveis aleatórias independentes. Então também são variáveis aleatórias independentes e , e é claro que podemos escrever como , a soma de duas variáveis aleatórias independentes. Agora, de acordo com um teorema conjecturado por P. Lévy e provado por H. Cramér (ver Feller, capítulo XV.8, teorema 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

$X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

Dilip Sarwate
fonte

Eu esperava que a resposta fosse sim, mas obrigado! Não tenho acesso fácil a uma cópia do Feller - é possível esboçar uma prova do teorema? Parece bastante contra-intuitivo.

Martin O'Leary

Mesmo Feller não inclui a prova original alegando que ela se baseia na teoria da função analítica e, portanto, bastante diferente de sua abordagem às funções características.

Dilip Sarwate

I thought that was the case but it opens the door for dependent variables. I was try to find a way to construct dependence between 2 positive half normals but couldn't quite get it to work.

Michael R. Chernick

well maybe someone should I was more interested in trying to solve it

Michael R. Chernick

I will make this a question and then you can spell out your answer. I am not quite following what this joint density looks like and are you taking Z=|X|-|Y|?

Michael R. Chernick