Momentos de uma distribuição - alguma utilidade para momentos parciais ou superiores?

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É comum usar o segundo, terceiro e quarto momentos de uma distribuição para descrever certas propriedades. Momentos parciais ou momentos maiores que o quarto descrevem propriedades úteis de uma distribuição?

Eduardas
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Não é uma resposta, mas uma coisa a ter em mente é que os momentos de ordem superior exigem muito mais observações para obter o primeiro sinal.
Isomorphismes
Uma postagem que está usando momentos parciais é stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Portanto, momentos parciais têm alguma utilidade e provavelmente poderiam ser usados ​​mais.
Kjetil b halvorsen

Respostas:

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Além das propriedades especiais de alguns números (por exemplo, 2), a única razão real para destacar momentos inteiros em oposição a momentos fracionários é a conveniência.

Momentos mais altos podem ser usados ​​para entender o comportamento da cauda. Por exemplo, uma variável aleatória centralizada com variância 1 possui caudas subgaussianas (ie P ( | X | > t ) < C e - c t 2 para algumas constantes c , C > 0 ) se e somente se E | X | p( A XP(|X|>t)<Cect2c,C>0para cadap1e alguma constanteA>0.E|X|p(Ap)pp1A>0

Mark Meckes
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o resultado que você indicar para caudas [sub] gaussianas não parece certo. de acordo com o limite [ ] você cita, anormap t h de uma variável gaussiana centralizada não [no limite] excederá 1. mas anormap t h de um rv tende a seu sup sup, que é+para uma variável gaussiana. Appthpth+
ronaf 26/09
Obrigado por capturar isso. Eu esqueci o expoente no RHS; está corrigido agora.
MarkMeckes
você poderia fornecer uma referência para esse resultado?
Gary
@ Gary: infelizmente não sei uma referência (publicada ou online); faz parte do folclore do meu campo, escrito em cursos, mas escrito como "simples e bem conhecido" nos jornais. A prova é fácil, no entanto. Dada a estimativa da cauda, ​​a estimativa do momento segue da integração por partes (ie ) e a fórmula de Stirling. Dada a estimativa do momento, a estimativa da cauda segue aplicando a desigualdade de Markov e otimizando sobre p . E|X|p=0ptp1P(|X|>t)dtp
Mark Meckes
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Fico desconfiado quando ouço as pessoas perguntando sobre o terceiro e o quarto momentos. Existem dois erros comuns que as pessoas geralmente têm em mente quando abordam o assunto. Não estou dizendo que você está necessariamente cometendo esses erros, mas eles sempre aparecem.

Primeiro, parece que eles implicitamente acreditam que as distribuições podem ser reduzidas a quatro números; eles suspeitam que apenas dois números não são suficientes, mas três ou quatro devem ser suficientes.

Segundo, parece retomar a abordagem de correspondência de momento para as estatísticas, que perdeu em grande parte os métodos de máxima verossimilhança nas estatísticas contemporâneas.

Atualização: eu expandi esta resposta em uma postagem no blog .

John D. Cook
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Um exemplo de uso (a interpretação é um qualificador melhor) de um momento mais alto: o quinto momento de uma distribuição univariada mede a assimetria de suas caudas.

user603
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Mas o terceiro momento (central) não faz isso de maneira mais estável e prática?
whuber
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@Whuber:> o terceiro está medindo a assimetria geral, que não é a mesma coisa que a assimetria da cauda. Por causa do expoente mais alto, o valor do quinto é quase inteiramente determinado pelas caudas.
user603
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@ Kwak: Obrigado por esclarecer seu significado. Obviamente, a mesma resposta poderia ser aplicada a qualquer momento estranho: eles medem a assimetria cada vez mais nas caudas.
whuber
@Whuber:> Claro. Observe que, mesmo para uma distribuição de cauda justa como a gaussiana, no 7º momento você já está efetivamente comparando o máximo com o mínimo.
user603
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@Kwak: Duas perguntas rápidas de acompanhamento; não há necessidade de responder se você não quiser. (1) "Cauda justa" ?? (2) Quais são os mínimos e máximos de um gaussiano?
whuber