Qual é a definição de uma distribuição simétrica?

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Qual é a definição de uma distribuição simétrica? Alguém me disse que uma variável aleatória veio de uma distribuição simétrica se e somente se e têm a mesma distribuição. Mas acho que essa definição é parcialmente verdadeira. Porque eu posso apresentar um contra-exemplo e . Obviamente, ele tem uma distribuição simétrica, mas e têm distribuição diferente! Estou certo? Vocês já pensaram nessa questão? Qual é a definição exata de distribuição simétrica?X - X X N ( μ , σ 2 ) μ 0 X - XXXXXN(μ,σ2)μ0XX

shijing SI
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Quando você diz "uma distribuição é simétrica", é necessário especificar com relação a qual ponto é simétrico. No caso da distribuição normal que você apresenta, a simetria é dada em torno de μ . Nesse caso, Xμ e (Xμ) têm a mesma distribuição. Em termos de densidade, isso pode ser expresso como: f é simétrico em torno de μ se f(μx)=f(μ+x) . Aliás, é bom aceitar respostas quando estiver satisfeito com uma delas.
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Sim, nós dois pensamos sobre esta questão. Simétrico geralmente significa simétrico em torno de 0 e, para evitar outros contra-exemplos, a afirmação de que as distribuições são simétricas não é algo verdadeiro sobre a função de distribuição de probabilidade cumulativa . O seu "contra-exemplo" tem simetria sobre o ponto μ0 , não sobre o ponto 0 .
usar o seguinte
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@Dilip Quando uma definição depende de uma maneira de descrever alguma coisa, mas essa definição pode ser mostrada como uma propriedade intrínseca dessa coisa, não faz sentido aplicar a definição a uma forma diferente de descrição. Nesse caso, a simetria é uma propriedade de uma distribuição , mas isso não implica que todas as descrições dessa distribuição (incluindo PDF e CDF) devam ser "simétricas" da mesma maneira. Ao aplicar a simetria do PDF ao CDF, seu comentário confunde a questão em vez de esclarecê-la.
whuber
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shijing, o @Procrastinator observou que você fez muitas perguntas sem aceitar nenhuma resposta. Isso sugere que você pode não estar familiarizado com o funcionamento deste site. Para esclarecer qualquer mal-entendido, você poderia ler a parte relevante de nossas perguntas frequentes o tempo todo ? Levará apenas alguns minutos e, seguindo suas orientações, aumentará o valor do nosso site para você.
whuber
@whuber O CDF é uma das poucas descrições nas quais a distribuição de palavras realmente ocorre no nome, e eu estava tentando esclarecer que a propriedade de simetria não se aplicava ao CDF.
Dilip Sarwate

Respostas:

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Resumidamente: é simétrico quando X e 2 a - X têm a mesma distribuição para algum número real a . XX2aXa Mas chegar a isso de uma maneira totalmente justificada requer alguma digressão e generalizações, porque levanta muitas questões implícitas: por que essa definição de "simétrica"? Pode haver outros tipos de simetrias? Qual é a relação entre uma distribuição e suas simetrias e, inversamente, qual é a relação entre uma "simetria" e as distribuições que podem ter essa simetria?


As simetrias em questão são reflexos da linha real. Todos são da forma

x2ax

por alguma constante .a

Então, suponha que tenha essa simetria por pelo menos um a . Então a simetria implicaXa

Pr[Xa]=Pr[2aXa]=Pr[Xa]

mostrando que é uma mediana de X . Da mesma forma, se X tem uma expectativa, segue-se imediatamente que a = E [ X ] . Assim, geralmente podemos definir um facilmente. Mesmo se não, a (e, portanto, a própria simetria) ainda é determinada exclusivamente (se é que existe).aXXa=E[X]aa

Para ver isso, seja qualquer centro de simetria. Aplicando ambas as simetrias, vemos que X é invariável sob a translação x x + 2 ( b - a ) . Se b - a 0 , a distribuição de X deve ter um período de b - a , o que é impossível porque a probabilidade total de uma distribuição periódica é 0 ou infinita. Assim b - a = 0 , mostrando que a é único.bX xx+2(ba)ba0Xba0ba=0a

De maneira mais geral, quando é um grupo que age fielmente na linha real (e por extensão em todos os subconjuntos de Borel), poderíamos dizer que uma distribuição X é "simétrica" ​​(em relação a G ) quandoGXG

Pr[XE]=Pr[XEg]

para todos os conjuntos mensuráveis e elementos g G , onde E g denota a imagem de E sob a ação de g .EgGEgEg

Como exemplo, deixe ainda ser um grupo de ordem 2 , mas agora sua ação é tomar o recíproco de um número real (e fixar 0 ). A distribuição lognormal padrão é simétrica em relação a esse grupo. Este exemplo pode ser entendido como uma instância de uma simetria de reflexão em que ocorreu uma re-expressão não linear das coordenadas. Isso sugere focar nas transformações que respeitam a "estrutura" da linha real. A estrutura essencial para a probabilidade deve estar relacionada aos conjuntos de Borel e à medida de Lebesgue, os quais podem ser definidos em termos de distância (euclidiana) entre dois pontos.G20

Um mapa de preservação de distância é, por definição, uma isometria. É sabido (e fácil, embora um pouco envolvido, demonstrar) que todas as isometrias da linha real são geradas por reflexões. Por isso, quando se entende que "simétrico" significa simétrico em relação a algum grupo de isometrias , o grupo deve ser gerado por no máximo uma reflexão e vimos que a reflexão é determinada exclusivamente por qualquer distribuição simétrica em relação a ele. Nesse sentido, a análise anterior é exaustiva e justifica a terminologia usual das distribuições "simétricas".

Aliás, uma série de exemplos multivariados de distribuições invariantes sob grupos de isometrias é fornecida considerando-se distribuições "esféricas". Eles são invariantes em todas as rotações (em relação a algum centro fixo). Eles generalizam o caso unidimensional: as "rotações" da linha real são apenas os reflexos.

Por fim, vale ressaltar que uma construção padrão - média sobre o grupo - permite produzir cargas de distribuições simétricas. No caso da reta real, seja gerado pela reflexão sobre um ponto a , de modo que consista no elemento de identidade e e nessa reflexão, g . Deixe- X seja qualquer distribuição. Defina a distribuição Y definindoGaegXY

PrY[E]=1|G|gGPrX[Eg]=(PrX[E]+PrX[Eg])/2

para todos os conjuntos de Borel . Isso é manifestamente simétrico e é fácil verificar se continua sendo uma distribuição (todas as probabilidades permanecem não-negativas e a probabilidade total é 1 ).E1

Gama

Ilustrando o processo de média do grupo, o PDF de uma distribuição gama simétrica (centralizada em ) é mostrado em ouro. O Gamma original está em azul e seu reflexo está em vermelho.a=2

whuber
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(+1) Gostaria de acrescentar que, no cenário multivariado, a definição de simetria não é única. Neste livro, existem 8 definições possíveis de distribuições multivariadas simétricas.
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@ Procrastinator Estou curioso sobre o que você pode dizer com "não é único". AFAIK, qualquer coisa que justifique o nome "simetria" finalmente se refere a uma ação de grupo em um espaço. Seria interessante ver que tipos diferentes de ações os estatísticos consideraram úteis. Como esse livro está esgotado e não está disponível na Web, você poderia dar um exemplo rápido de dois tipos de simetria realmente diferentes considerados nesse livro?
whuber
Xμ=d(Xμ) Xμ=dO(Xμ)O
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@Procrastinator Obrigado. Observe que os dois exemplos que você oferece são casos especiais da definição geral que forneci: a simetria central gera um grupo de isometrias de dois elementos e as simetrias esféricas também são um subgrupo de todas as isometrias. A "simetria elíptica" no link é uma simetria esférica após uma transformação afim e, portanto, exemplifica o fenômeno que apontei com o exemplo lognormal. As "simetrias angulares" formam novamente um grupo de isometrias. A "simetria de meio espaço" [sic] não é uma simetria, mas permite partidas discretas a partir delas: isso é novo.
whuber
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XXP(X)=P(X)

XX+λλP(X)=P(X+λ)

Michael Hoffman
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