Obter distribuição conjunta da distribuição marginal aos pares

Suponha que temos 3 variáveis ​​aleatórias e conhecemos a distribuição marginal em pares , mas não sabemos mais nada (como como independência condicional). Podemos obter a distribuição conjunta ? P ( X 1 , X 2 ) , P ( X 2 , X 3 ) , P ( X 3 , X 1 ) P ( X 1 , X 2 , X 3$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$

Não.

Considere uma distribuição trivariada com margens normais bivariadas (padrão, independentes), mas com metade dos octantes com probabilidade 0 e metade com probabilidade dupla. Especificamente, considere os octantes ---, - ++, + - +, ++ - têm probabilidade dupla.

Então as margens bivariadas são indistinguíveis daquela que você obteria com três variáveis ​​normais padrão do iid. De fato, há uma infinidade de distribuições trivariadas que produziriam as mesmas margens bivariadas

Como Dilip Sawarte aponta nos comentários, ele discutiu essencialmente o mesmo exemplo em uma resposta (mas inverte os octantes que são duplicados e zerados) e define-o de uma maneira mais formal. Whuber menciona um exemplo envolvendo variáveis ​​de Bernoulli que (no caso trivaria) são assim:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... onde toda margem bivariada seria

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

e assim seria equivalente ao caso de três variáveis ​​independentes (ou de fato a três com exatamente a forma inversa de dependência).

Um exemplo intimamente relacionado, que comecei a escrever, envolveu um uniforme trivariado com "fatias" alternadas em um padrão quadriculado de maior e menor probabilidade (generalizando o habitual zero e o dobro).

Portanto, você não pode calcular o trivariado das margens bivariadas em geral.