Essa também é uma condição * necessária * para ser um estimador de Bayes ou apenas suficiente?

Um estimador de Bayes é aquele que minimiza o risco de Bayes. Especificamente, se e somente se

δ_{Λ} = \arg min BR (Λ, δ) := \int R (θ, δ) d Λ (θ) = \int (\int L (θ, δ (x)) d x) d Λ (θ)

$\delta_{\Lambda} = \arg\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta) := \int R(\theta, \delta) d \Lambda(\theta) = \int \left( \int L(\theta, \delta(x))dx \right) d \Lambda(\theta)$ onde

L (θ, δ (X))

$L(\theta, \delta(X))$ é uma função de perda dada,

R (θ, δ)

$R(\theta, \delta)$ é a função de risco correspondente e

BR (Λ, δ)

$\operatorname{BR}(\Lambda, \delta)$ é definido como o risco de Bayes, é

δ_{Λ}

$\delta_{\Lambda}$ um estimador de Bayes.

Teorema 4.1.1 na p. 228 de Casella, Lehmann, Teoria da estimativa pontual , bem como o Teorema 7.1 na p. 116 de Estatísticas teóricas mais precisas: Tópicos para um curso básico , declare a seguinte condição suficiente para $\delta_{\Lambda}$ ser um estimador de Bayes:

\forall x, δ_{Λ} = \arg min E [L (Θ, δ (X)) | X = x]

$\forall x, \quad \delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$

É óbvio por que essa é uma condição suficiente: integrando primeiro sobre $x$ , obtemos pela monotonicidade de integrais e $\arg\min$ para $\mathbb{E}[L(\Theta, \delta(X))] = \int L(\Theta, \delta(x)) dx = R(\Theta, \delta)$ . Então, integrando over $\theta$ , obtemos um $\arg\min$ para o risco de Bayes, novamente pela monotonicidade de integrais.

Pergunta: A condição acima é necessária para $\delta_{\Lambda}$ ser um estimador de Bayes?

Intuitivamente, não vejo razão para isso ser necessário, a menos que tenhamos condições adicionais que garantam a exclusividade ( -as) do estimador de Bayes. Além disso, as provas nos dois livros que mencionei acima parecem mostrar suficiência, não necessidade. $\mathcal{P}$

No entanto, a Wikipedia diz que: "Um estimador ... é considerado um estimador de Bayes se minimizar o risco de Bayes entre todos os estimadores. Equivalentemente , o estimador que minimiza a perda posterior esperada ... para cada x". Ou seja, parece implicar que as duas condições são equivalentes, ou seja, que a última condição é não apenas suficiente, mas necessária . Isso é realmente verdade em geral?

bayesian loss-functions Chill2Macht
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Respostas:

Primeiro, se a condição mantém quase certamente em , o mesmo argumento se aplica. Portanto, o estimador de Bayes é definido quase certamente e, portanto, pode variar arbitrariamente em um conjunto arbitrário de medida zero.

δ_{Λ} = \arg min E [L (Θ, δ (X)) | X = x]

$\delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$

x

$x$

Segundo, há situações em que existem vários estimadores de Bayes. Por exemplo, aqui está um exercício do meu livro :

2.40 Considere e . Mostre que, na perda (2.5.4), para cada , existem valores de e modo que o estimador Bayes não é exclusivo. $\pi(\theta) = (1/3)(\mathscr{U}_{[0,1]}(\theta)+\mathscr{U}_{[2,3]}(\theta)+\mathscr{U}_{[4,5]}(\theta))$ $f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x}$ $x$ $k_1$ $k_2$

onde a perda (2.5.4) é

\begin{array}{rcl} L_{k_{1}, k_{2}} (θ, d) = {\begin{cases} k_{2} (θ - d) & if θ > d, \\ k_{1} (d - θ) & otherwise. \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathrm{L}_{k_1,k_2} (\theta ,d) = \begin{cases} k_2(\theta -d) & \text{if }\theta > d, \cr k_1(d-\theta ) &\text{otherwise.} \cr\end{cases} \end{eqnarray}$

Terceiro, quando o risco de Bayes é infinito, qualquer estimador é um estimador de Bayes. $\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta)$

Xi'an
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Não importa, depois de reler minha pergunta original, vejo como isso aborda uma observação feita na pergunta. Isso não parece responder à pergunta principal, embora essa possa não ter sido sua intenção de qualquer maneira. Mas é útil na medida em que esclarece um ponto relacionado que levantei implicitamente.

Chill2Macht