Teste de hipóteses na matriz de covariância inversa

Suponha que eu observe iid e desejo testar vech para um matriz conformável e vetor . Existe trabalho conhecido sobre esse problema? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

A tentativa óbvia (para mim) seria através de um teste de razão de probabilidade, mas parece que maximizar a probabilidade sujeita às restrições de exigiria um solucionador de SDP e poderia ser bastante complicado. $H_0$

hypothesis-testing normal-distribution multivariate-analysis maximum-likelihood covariance shabbychef
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Você tem restrições adicionais em ? Se for invertível, . O problema, em seguida, eleva-se a um problema bem conhecido: o de testar se . Aqui (lembre-se de que determina exclusivamente).

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$

B

$B$

MånsT

@ MånsT; infelizmente estou interessado no caso geral. Normalmente, terá cerca de 10 linhas e 400 colunas ou mais.

A

$A$

218126 shabbychef

Uma coisa que eu estou pensando sobre esse problema diz respeito à viabilidade. Obviamente, é fácil encontrar pares modo que nenhuma matriz semidefinida positiva possa satisfazer as restrições. Potencialmente mais problemático para um teste de razão de verossimilhança, parece que pode haver casos em que mesmo quando a hipótese nula era verdadeira, com alta probabilidade de obter uma instância de problema inviável. Talvez essa última parte esteja errada. (+1) Você costuma fazer problemas interessantes e desafiadores. Gosto de ler e pensar um pouco sobre eles.

(A, a)

$(A,a)$

cardeal

@ cardinal Boa captura! Eu não tinha pensado nisso porque, na aplicação que estou considerando, a hipótese nula restringe apenas elementos não diagonais de (as colunas correspondentes de são todas nulas). Como a diagonal pode ser arbitrariamente grande, posso garantir a viabilidade.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

shabbychef

Beran e Srivastava (1985, Annals of Statistics) tiveram um artigo em que propuseram uma abordagem geral de autoinicialização para aplicar uma rotação à matriz de covariância que a faz corresponder à distribuição abaixo do nulo. O argumento do @ cardinal sobre a existência de uma matriz desse tipo é altamente relevante aqui. Você precisa ter pelo menos algum tipo de aproximação para uma matriz que satisfaça as restrições que você impõe sob o nulo.

Chen, Variyath e Bovas tiveram um artigo sobre a probabilidade empírica ajustada, onde demonstraram como ele pode ser usado para testar uma estrutura bastante estranha na matriz de covariância. Acho que este artigo acabou sendo publicado no CJS.

StasK
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Não sei se posso traduzi-los facilmente em uma solução para o meu problema, mas ambos são leituras fascinantes. +1.

26612 shabbychef

Teste de hipóteses na matriz de covariância inversa

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