Seja sejam variáveis aleatórias normais padrão independentes. Existem muitas (longas) provas por aí, mostrando que
Muitas provas são bastante longas e algumas delas usam indução (por exemplo, Casella Statistical Inference). Gostaria de saber se existe alguma prova fácil desse resultado.
mathematical-statistics
sampling
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Respostas:
Para , definak = 1 , 2 , … , n - 1
O , sendo transformações lineares de variáveis aleatórias multinormalmente distribuídas , também possui uma distribuição multinormal. Observe queZ iXk ZEu
A matriz de variância-covariância de é a matriz de identidade .n - 1 × n - 1( X1 1, X2, … , Xn - 1) n - 1 × n - 1
( 2 ) X k ˉ Z . 1 + 1 + ⋯ + 1 - k = 0 k( 1 ) , que é fácil de verificar, implica diretamente ao observar que todos os não estão correlacionados com Todos os se ao fato de que , onde existem .( 2 ) Xk Z¯. 1 + 1 + ⋯ + 1 - k = 0 k
Juntos, eles mostram que tem a distribuição da soma de variáveis normais não-correlacionadas da variação de unidade. Por definição, esta é a , QED .n-1χ2(n-1)∑ni = 1( ZEu- Z¯)2 n - 1 χ2( n - 1 )
Referências
Para uma explicação de onde vem a construção de , consulte o início da minha resposta em Como executar a transformação isométrica da razão logarítmica relativa às matrizes de Helmert .Xk
Esta é uma simplificação da demonstração geral dada na resposta do ocram em Por que o RSS é distribuído chi square times np . Essa resposta afirma "existe uma matriz" para construir o ; aqui, eu exibo essa matriz.Xk
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Observe que você diz que são iid com normal padrão , com eN ( 0 , 1 ) μ = 0 σ = 1ZEus N( 0 , 1 ) μ = 0 σ= 1
EntãoZ2Eu∼ χ2( 1 )
Então
Observe que o lado esquerdo de (1), e que o segundo termo no lado direito [ √
Além disso, modo que e sejam independentes. Portanto, os dois últimos termos em (1) (funções de e ) também são independentes. Portanto, seus mgfs estão relacionados ao mgf do lado esquerdo de (1) através de que e . O mgf de é, portanto, . Assim, é qui-quadrado com graus de liberdade.Z i - ˉ Z ˉ Z Z i - ˉ Z Z i M n ( t ) = M n - 1 ( t ) M 1 ( t ) M n ( t ) = ( 1 - 2 t ) - n / 2Cov( ZEu- Z¯, Z¯) = 0 ZEu- Z¯ Z¯ ZEu- Z¯ ZEu
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