Dado um GLM usando Tweedie, como encontro os coeficientes?

Deixei $Y$ ser uma variável aleatória que obedeça à distribuição Tweedie para o parâmetro $\alpha = 1.1$. Deixe a função de link ser o log natural. Suponha que tenhamos um banco de dados de números do formulário

$(y_1, x_{1,1}, x_{1,2}, ..., x_{1,m})$

$(y_2, x_{2,1}, x_{2,2}, ..., x_{2,m})$

...

$(y_n, x_{n, 1}, x_{n, 2}, ..., x_{n, m})$.

As variáveis ​​são uma mistura de variáveis ​​categóricas e variáveis ​​contínuas. Por ser um GLM, sabemos que

$E[Y] = e^{X\beta}$. Então, aqui está minha pergunta: dado o banco de dados de números e usando o fato de que essa é uma distribuição Tweedie com um determinado parâmetro, qual algoritmo eu uso para escolher melhor$\beta$? Preciso minimizar uma função de erro ou estimar parâmetros de máxima probabilidade?

Você conhece os modelos lineares generalizados em R? Em caso afirmativo, você pode instalar o Tweedie glms como qualquer outro glms. A definição da família glm necessária para fazer isso acontecer é fornecida pelo pacote statmod R do CRAN.

Tweedie glms assume que a função de variação é uma função de potência:

Aqui está um exemplo de código R:

> library(statmod)
> y <- c(4.0,5.9,3.9,13.2,10.0,9.0)
> x <- 1:6
> fit <- glm(y~x, family=tweedie(var.power=1.1, link.power=0))
> summary(fit)

Call:
glm(formula = y ~ x, family = tweedie(var.power = 1.1, link.power = 0))

Deviance Residuals: 
      1        2        3        4        5        6  
-0.2966   0.1183  -1.0742   1.4985   0.1205  -0.6716  

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)   1.3625     0.4336   3.143   0.0348 *
x             0.1794     0.1008   1.779   0.1498  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Tweedie family taken to be 1.056557)

    Null deviance: 7.3459  on 5  degrees of freedom
Residual deviance: 3.9670  on 4  degrees of freedom
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 4

O pacote Tweedie permite que você ajuste um glm com qualquer função de energia e qualquer link de energia. Na chamada de família glm, var.power é o$\alpha$ parâmetro para que var.power = 1.1 especifique $\alpha=1.1$. O var.power refere-se ao expoente da função glm variance, de modo que var.power = 0 especifica uma família normal, var.power = 1 significa família Poisson, var.power = 2 significa família gama, var.power = 3 significa inverso Família gaussiana e assim por diante. Valores entre 0 e 1 não são permitidos, mas praticamente qualquer outra coisa é permitida.

link.power = 0 especifica um link de log. O link é especificado em termos de poderes de transformação Box-Cox, portanto link.power = 1 é o link de identidade e link.power = 0 significa log.

O modelo acima pressupõe que $y_i\sim {\rm Tweedie}_\alpha(\mu_i,\phi)$ Onde

Os coeficientes de regressão $\beta_j$foram estimados por probabilidade máxima. O parâmetro de dispersão$\phi$ foi estimado usando a soma residual dos resíduos quadrados - isso é chamado de estimador de Pearson.

Independentemente do que $\alpha$ ou link usado, qualquer uma das funções a jusante fornecidas em R para glms funcionará no objeto de modelo ajustado por glm produzido por glm ().