Percentis de

Suponha que , e . Estou interessado em calcular percentis de . Podemos assumir a normalidade bivariada.$X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$$\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$$Z = \max(X,Y)$

Sei como encontrar o pdf, a média e a variação de , mas estou tendo problemas para resolver ou encontrar uma aproximação para os percentis. Isso já foi trabalhado em algum lugar da literatura? $Z$

Você pode calcular isso numericamente . Quanto aos resultados teóricos, não tenho uma referência à literatura, mas aqui está um cálculo de como o seu problema está relacionado ao CDF normal .$\Phi$

O pdf conjunto é onde Para simplificar, assumirei que , : Agora temos, usando , que

$$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$$ $$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$$ $\mu_1=\mu_2=0$$\sigma_1=\sigma_2=1$ $$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$$ $x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$ $$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$$ $$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ $$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ Seja normal com média e variância . Então Então nós temos$W$$\rho y$$1-\rho^2$ $$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$$ $$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$$

$$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$$

Você pode ver que se então isso é apenas , como deveria ser.$\rho=0$$\Phi(a)^2$