TLDR: As splines de regressão em placas finas têm uma interpretação probabilística / bayesiana?
Dado pares de entrada-saída , ; Eu quero estimar uma função seguinte forma
Supondo que seja uma função definida positiva do kernel, esta solução pode ser vista como o melhor preditor linear e imparcial do seguinte modelo bayesiano:
h ( ⋅ ) ∼ G P ( 0 , τ k ( ⋅ , ⋅ ) ) , β ∝ 1 ,
que e denota um processo gaussiano. Veja por exemplohttps://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2665800/
Minha pergunta é a seguinte. Suponha que eu deixe e , isto é, spline de placa fina regressão. Agora, não é uma função semidefinida positiva e a interpretação acima não funciona. O modelo acima e sua solução ainda têm uma interpretação probabilística, como no caso em que é semidefinido positivo?
Respostas:
Deixe o modelo da pergunta ser escrito como que é um GP não observado com índice e é um termo de ruído normal com variância . Presume-se que o GP seja centrado, estacionário e não determinístico. Observe que o termo pode ser considerado como um GP (determinístico) com o kernel que h(x)x∈Rdεiσ2φ(x)⊤pφ(x)⊤B
Aqui estão dois exemplos de IRF para . Primeiramente, considere um processo de Wiener com sua condição inicial substituída por uma condição inicial difusa : é normal com uma variação infinita. Depois que um valor é conhecido, o IRF pode ser previsto como o Wiener GP. Em segundo lugar, considere um processo integrado de Wiener fornecido pela equação em que é um processo de Wiener. Para obter um GP, agora precisamos de dois parâmetros escalares: dois valores e paraζ ( x ) ζ ( 0 ) = 0 ζ ( 0 ) ζ ( x ) d 2 ζ ( x ) / d x 2 = d W ( x ) / d x W ( x ) ζ ( x ) ζ ( x ′ ) x ≠ x ′ ζ ( x )d=1 ζ(x) ζ(0)=0 ζ(0) ζ(x)
Para uma dimensão geral , considere um espaço linear de funções definidas em . Chamamos um incremento relativo a um conjunto finito de locais e pesos reais tal que Considere como o espaço nulo de nossos exemplos. Para o primeiro exemplo, podemos usar, por exemplo, com e arbitrários ed F Rd F s xi∈Rd s νi
O cálculo da previsão do IRF é quase o mesmo da pergunta, com substituído por , mas com o agora formando uma base de . A restrição extra deve ser adicionada no problema de otimização, que concederá esse . Ainda podemos adicionar mais funções básicas que não estão em se necessário; isso terá o efeito de adicionar um GP determinístico, digamos ao IRFk(x,x′) g(x,x′) ϕi(x) F Φ⊤α=0 α⊤Kα≥0 F ψ(x)⊤γ ζ(x) em (2).
O spline de placa fina depende de um número inteiro tal que , o espaço contenha polinômios de baixo grau, com a dimensão dependendo de e . Pode-se mostrar que se é a seguinte função para depois define um wrt condicionalmente positivo . A construção refere-se a um operador diferencialm m>2d F p(m) m d E(r) r≥0
Estatísticas de Cressie N para dados espaciais . Wiley 1993.
Mardia KV, Kent JT, Goodall CR e Little JA. Krigagem e splines com informações derivadas. Biometrika (1996), 83,1, pp. 207-221.
Modelos Wahba G Spline para dados observacionais . SIAM 1990.
Wang, Y Suavizando splines, métodos e aplicações . Chapman e Hall, 2011.
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