Por que nos importamos se um processo de MA é invertível?

Estou tendo problemas para entender por que nos importamos se um processo de MA é invertível ou não.

Corrija-me se estiver errado, mas posso entender por que nos importamos se um processo de RA é causal ou não, ou seja, se podemos "reescrevê-lo", por assim dizer, como a soma de alguns parâmetros e ruído branco - ou seja, um processo de média móvel. Nesse caso, podemos ver facilmente que o processo de RA é causal.

No entanto, estou tendo problemas para entender por que nos importamos se podemos ou não representar um processo de MA como um processo de AR, mostrando que é invertível. Eu realmente não entendo por que nos importamos.

Qualquer idéia seria ótima.

A inversibilidade não é realmente um grande problema, porque quase qualquer modelo de MA $(q)$ gaussiano e não invertível pode ser alterado para um MA ( q ) invertível$(q)$ representa o mesmo processo, alterando os valores dos parâmetros. Isso é mencionado na maioria dos livros didáticos para o modelo MA (1), mas é verdade de maneira mais geral.

Como exemplo, considere o modelo MA (2)

$$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$$ onde $w_t$ é ruído branco com variação $\sigma_w^2$ . Este não é um modelo invertível porque $\theta(B)$ tem uma raiz igual a 0,5 dentro do círculo unitário. No entanto, considere o modelo alternativo MA (2) obtido alterando essa raiz para seu valor recíproco de 2, de modo que o modelo tenha a forma $$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$$ onde$w_t'$ tem variância$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Você pode facilmente verificar se os modelos (1) e (2) possuem as mesmas funções de autocovariância e, portanto, especificar a mesma distribuição para os dados se o processo for gaussiano.

Para tornar o modelo identificável de modo que exista um mapeamento um a um de $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ para a distribuição dos dados, o espaço do parâmetro é, portanto, por convenção restrito ao inversível modelos. Essa convenção em particular é preferida, pois o modelo pode ser colocado diretamente na forma de AR $(\infty)$ com os coeficientes $\pi_1,\pi_2,\dots$ satisfazendo a equação da diferença simples$\theta(B)\pi_i=0$ .

Se não impormos essa restrição no espaço do parâmetro, a função de probabilidade de um MA $(q)$ em geral teria até $2^q$ ótimos locais (se o polinômio do MA tiver $q$ raízes reais distintas), o que é algo que queremos evitar .

Você sempre pode mover raízes de dentro para fora do círculo unitário com uma alteração correspondente na variação de ruído branco usando a técnica acima, exceto nos casos em que o polinômio MA possui uma ou mais raízes exatamente no círculo unitário.

$X_t$

$$X_t = \theta(B)Z_t$$ $$\xi(B)X_t = Z_t$$ $\xi(B)$

Além disso, a julgar pelo título na referência no primeiro link, esses autores têm muito mais a dizer sobre esse assunto. Infelizmente, não consigo encontrar uma cópia desse livro / papel na internet. Se alguém puder encontrar isso, entre em contato.