Tempo médio de sobrevivência para uma função de sobrevivência log-normal

Eu encontrei muitas fórmulas mostrando como encontrar o tempo médio de sobrevivência para uma distribuição exponencial ou Weibull, mas estou tendo consideravelmente menos sorte para as funções de sobrevivência log-normal.

Dada a seguinte função de sobrevivência:

S (t) = 1 - ϕ [\frac{\ln (t) - μ}{σ}]

$S(t) = 1 - \phi \left[ {{{\ln (t) - \mu } \over \sigma }} \right]$

Como encontrar o tempo médio de sobrevivência. Pelo que entendi, é o parâmetro de escala estimado e a exp ( ) de um modelo de sobrevivência paramétrico é . Enquanto eu acho que eu posso manipulá-lo simbolicamente para obter t por si só depois de definir S (t) = 0,5, o que é especialmente me stumping é como lidar com em algo como R quando ele realmente se resume a introduzir todas as estimativas e a obtenção de um tempo médio. $\sigma$ $\beta$ $\mu$ $\phi$

Até agora, eu tenho gerado a função de sobrevivência (e curvas associadas), assim:

beta0 <- 2.00
beta1 <- 0.80
scale <- 1.10

exposure <- c(0, 1)
t <- seq(0, 180)
linmod <- beta0 + (beta1 * exposure)
names(linmod) <- c("unexposed", "exposed")

## Generate s(t) from lognormal AFT model

s0.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["unexposed"]) / scale)
s1.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["exposed"]) / scale)

## Plot survival
plot(t,s0.lnorm,type="l",lwd=2,ylim=c(0,1),xlab="Time",ylab="Proportion Surviving")
lines(t,s1.lnorm,col="blue",lwd=2)

O que produz o seguinte:

insira a descrição da imagem aqui

survival Fomite
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Eu acho que você quer dizer "tempo médio de sobrevivência" em vez de "tempo médio de sobrevivência". O tempo médio de sobrevivência é facilmente encontrado como .

t_{med} = e x p (μ)

$t_{\textrm{med}} = exp(\mu)$

Ocram 04/08/2012

@ram - Bem, isso foi ... fácil. Converta isso em uma resposta e eu aceito. Por curiosidade, no entanto, por que você acha que eu quero dizer "mediana" em vez de "dizer"?

Fomite

Se você quis dizer média e não mediana, não define S (t) = 0,5. O lognormal é uma distribuição altamente distorcida e a média e a mediana diferem. O tempo médio de sobrevivência é mais complicado que a mediana.

Michael R. Chernick

@ EpiGard: Eu assumi "mediana" em vez de "média" pelo motivo apontado por Michael C. ;-) Vou converter meu comentário em resposta.

Ocram

O tempo médio de sobrevivência não é muito complicado. Veja minha resposta. (Os vários momentos são também relativamente fácil de calcular.)

Mark Adler

Respostas:

O tempo médio de sobrevivência, , é a solução de ; nesse caso, . Isso ocorre porque quando indica a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal normal. $t_{\textrm{med}}$ $S(t) = \frac{1}{2}$ $t_{\textrm{med}} = \exp(\mu)$ $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ $\Phi$

Quando , o tempo médio de sobrevivência é de cerca de conforme ilustrado na figura abaixo. $\mu = 3$ $20.1$

insira a descrição da imagem aqui

ocram
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O tempo médio de sobrevivência é mais facilmente encontrado, expressando-o em termos da função geradora de momento de uma variável aleatória normal avaliada em .

t = 1

$t = 1$

cardeal

O rmspacote R pode ajudar:

require(rms)
f <- psm(Surv(dtime, event) ~ ..., dist='lognormal')
m <- Mean(f)
m   # see analytic form
m(c(.1,.2)) # evaluate mean at linear predictor values .1, .2
m(predict(f, expand.grid(age=10:20, sex=c('male','female'))))
# evaluates mean survival time at combinations of covariate values

Frank Harrell
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Provavelmente bastante útil para o futuro, mas os dados de sobrevivência reais em si não estão no R - estão na lista para serem traduzidos em algum momento, mas, no momento, são apenas coeficientes, com tudo o mais feito no SAS.

Fomite

Você encontrará os recursos de análise de sobrevivência do R à frente dos do SAS.

quer

Concordo - daí 'na lista para traduzir', mas eu não conheço R tão bem, e embora esse pouco seja fácil, as partes estendidas do projeto são consideravelmente mais complicadas e têm implementações existentes no SAS.

Fomite

No caso de alguém realmente não quer que o tempo médio de sobrevivência como originalmente solicitado, é . (De fato, o pôster original deve considerar cuidadosamente se deseja a média ou a mediana para o uso do número resultante. No exemplo dado com , a média é quase o dobro da mediana.) $e^{\mu+{\sigma^2\over 2}}$ $\sigma=1.1$

Mark Adler
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