Estou tentando modelar e prever uma série temporal que é cíclica e não sazonal (ou seja, existem padrões sazonais, mas não por um período fixo). Isso deve ser possível usando um modelo ARIMA, conforme mencionado na Seção 8.5 de Previsão: princípios e prática :

O valor de é importante se os dados mostrarem ciclos. Para obter previsões cíclicas, é necessário ter junto com algumas condições adicionais nos parâmetros. Para um modelo AR (2), o comportamento cíclico ocorre se .p ≥ 2 ϕ 2 1 + 4 ϕ 2 < $p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Quais são essas condições adicionais nos parâmetros no caso geral do ARIMA (p, d, q)? Não consegui encontrá-los em lugar nenhum.

Alguma intuição gráfica

Nos modelos de RA , o comportamento cíclico provém de raízes conjugadas complexas e do polinômio característico. Para dar a primeira intuição, plotamos as funções de resposta a impulso abaixo para dois exemplos de modelos AR (2).

1. Um processo persistente com raízes complexas.
2. Um processo persistente com raízes reais.

Para , As raízes do polinômio característico são que são autovalores da matriz eu defino abaixo. Com um complexo autovalores conjugados e , controla o amortecimento (em que ] e controla a frequência da onda cosseno.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Exemplo detalhado de AR (2)

Vamos assumir que temos o AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Você pode escrever qualquer AR (p) como um VAR (1) . Nesse caso, a representação VAR (1) é:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ AXtytAλ2-ϕ1λ-ϕ2 matriz governa a dinâmica de e, portanto, . A equação característica da matriz é: Os valores próprios de são: Os vetores próprios de são: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Observe que . Formando a decomposição do autovalor e elevando à ésima potência. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Um valor próprio real leva à deterioração à medida que você aumenta . Valores próprios com componentes imaginários diferentes de zero levam ao comportamento cíclico.$\lambda$$\lambda^k$

Valores próprios com caixa de componente imaginário:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

No contexto AR (2), temos valores próprios complexos se . Como é real, eles devem vir em pares que são conjugados complexos um do outro.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Seguindo o Capítulo 2 de Prado e West (2010), deixe

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Você pode mostrar que o é dado por:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Falando livremente, a adição de conjugados complexos cancela seu componente imaginário, deixando você com uma única onda de cosseno amortecida no espaço de números reais. (Observe que devemos ter para estacionariedade.)$0 \leq r < 1$

Se você deseja encontrar , , , , comece usando a fórmula de Euler que , podemos escrever:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Apêndice

Nota Aviso de terminologia confuso! Relacionando o polinômio característico de A ao polinômio característico de AR (p)

Outro truque da série temporal é usar o operador lag para escrever o AR (p) como:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Substitua o operador lag por alguma variável e as pessoas geralmente se referem a como o polinômio característico do modelo AR (p). Como essa resposta discute , esse é exatamente o polinômio característico de onde . As raízes são os recíprocos dos valores próprios. (Nota: para o modelo ficar estacionário, você deseja , que esteja dentro da unidade cirlce ou equivalente , que esteja fora do círculo da unidade.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ A z = 1$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Referências

Prado, Raquel e Mike West, Séries Temporais: Modelagem, Computação e Inferência , 2010