Condições para comportamento cíclico do modelo ARIMA

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Estou tentando modelar e prever uma série temporal que é cíclica e não sazonal (ou seja, existem padrões sazonais, mas não por um período fixo). Isso deve ser possível usando um modelo ARIMA, conforme mencionado na Seção 8.5 de Previsão: princípios e prática :

O valor de é importante se os dados mostrarem ciclos. Para obter previsões cíclicas, é necessário ter junto com algumas condições adicionais nos parâmetros. Para um modelo AR (2), o comportamento cíclico ocorre se .p 2 ϕ 2 1 + 4 ϕ 2 < 0pp2ϕ12+4ϕ2<0

Quais são essas condições adicionais nos parâmetros no caso geral do ARIMA (p, d, q)? Não consegui encontrá-los em lugar nenhum.

MånsT
fonte
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Você já examinou as raízes complexas do polinômio ? Parece que isso pode ser o que a citação está se referindo. ϕ(B)
Jason

Respostas:

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Alguma intuição gráfica

Nos modelos de RA , o comportamento cíclico provém de raízes conjugadas complexas e do polinômio característico. Para dar a primeira intuição, plotamos as funções de resposta a impulso abaixo para dois exemplos de modelos AR (2).

  1. Um processo persistente com raízes complexas.
  2. Um processo persistente com raízes reais.

Para , As raízes do polinômio característico são que são autovalores da matriz eu defino abaixo. Com um complexo autovalores conjugados e , controla o amortecimento (em que ] e controla a frequência da onda cosseno.j=1,p1λjλ1,,λpAλ=reiωtλ¯=reiωtrr[0,1)ω

Exemplo detalhado de AR (2)

Vamos assumir que temos o AR (2):

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+ϵt

Você pode escrever qualquer AR (p) como um VAR (1) . Nesse caso, a representação VAR (1) é:

[ytyt1]Xt=[ϕ1ϕ210]A[yt1yt2]Xt1+[ϵt0]Ut
AXtytAλ2-ϕ1λ-ϕ2 matriz governa a dinâmica de e, portanto, . A equação característica da matriz é: Os valores próprios de são: Os vetores próprios de são: AXtytA
λ2ϕ1λϕ2=0
A
λ1=ϕ1+ϕ12+4ϕ22λ2=ϕ1ϕ12+4ϕ22
A
v1=[λ11]v2=[λ21]

Observe que . Formando a decomposição do autovalor e elevando à ésima potência. E[Xt+kXt,Xt1,]=AkXtAk

Ak=[λ1λ211][λ1k00λ2k][1λ1λ2λ2λ1λ21λ1λ2λ1λ1λ2]

Um valor próprio real leva à deterioração à medida que você aumenta . Valores próprios com componentes imaginários diferentes de zero levam ao comportamento cíclico.λλk

Valores próprios com caixa de componente imaginário:ϕ12+4ϕ2<0

No contexto AR (2), temos valores próprios complexos se . Como é real, eles devem vir em pares que são conjugados complexos um do outro.ϕ12+4ϕ2<0A

Seguindo o Capítulo 2 de Prado e West (2010), deixe

ct=λλλ¯ytλλ¯λλ¯yt1

Você pode mostrar que o é dado por:E[yt+kyt,yt1,]

E[yt+kyt,yt1,]=ctλk+c¯tλ¯k=atrkcos(ωk+θt)

Falando livremente, a adição de conjugados complexos cancela seu componente imaginário, deixando você com uma única onda de cosseno amortecida no espaço de números reais. (Observe que devemos ter para estacionariedade.)0r<1

Se você deseja encontrar , , , , comece usando a fórmula de Euler que , podemos escrever:rωatθtreiθ=rcosθ+rsinθ

λ=reiωλ¯=reiωr=|λ|=ϕ2
ω=atan2(imagλ,realλ)=atan2(12ϕ124ϕ2,12ϕ1)

at=2|ct|θt=atan2(imagct,realct)

Apêndice

Nota Aviso de terminologia confuso! Relacionando o polinômio característico de A ao polinômio característico de AR (p)

Outro truque da série temporal é usar o operador lag para escrever o AR (p) como:

(1ϕ1Lϕ2L2ϕpLp)yt=ϵt

Substitua o operador lag por alguma variável e as pessoas geralmente se referem a como o polinômio característico do modelo AR (p). Como essa resposta discute , esse é exatamente o polinômio característico de onde . As raízes são os recíprocos dos valores próprios. (Nota: para o modelo ficar estacionário, você deseja , que esteja dentro da unidade cirlce ou equivalente , que esteja fora do círculo da unidade.)Lz1ϕ1zϕpzp A z = 1Az=1λz|λ|<1|z|>1

Referências

Prado, Raquel e Mike West, Séries Temporais: Modelagem, Computação e Inferência , 2010

Matthew Gunn
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Estou surpreso por ser o único voto positivo no momento. Boa resposta!
Taylor
@ Taylor É uma pergunta antiga e inativa. :)
Matthew Gunn