Expressão de forma fechada para os quantis de

Eu tenho duas variáveis ​​aleatórias, que é a distribuição uniforme de 0-1.$\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$$U(0,1)$

Então, eles produzem um processo, digam:

$$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$$

Agora, eu queria saber se existe uma expressão de forma fechada para o quantil teórico de 75% de para um dado --i suponho que eu possa fazê-lo com um computador e muitas realizações de P (x) , mas eu preferiria a forma fechada--.P ( x ) x ∈ ( 0 , 2 π ) P ( x $F^{-1}(P(x);0.75)$$P(x)$$x\in(0,2\pi)$$P(x)$

Esse problema pode ser rapidamente reduzido a encontrar o quantil de uma distribuição trapezoidal .

Vamos reescrever o processo como em que e são variáveis ​​aleatórias iid ; e, por simetria, ela tem a mesma distribuição marginal do processo Os dois primeiros termos determinam uma densidade trapezoidal simétricaU 1 U 2 U ( - 1 , 1

$$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$$ $U_1$$U_2$$\mathcal U(-1,1)$ $$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$$ uma vez que esta é a soma de duas variáveis ​​aleatórias uniformes com média zero (com, em geral, meias larguras diferentes). O último termo apenas resulta em uma conversão dessa densidade e o quantil é equivariante em relação a essa conversão (ou seja, o quantil da distribuição deslocada é o quantil deslocado da distribuição centralizada).

Quantiles de uma distribuição trapezoidal

Seja onde e são distribuições independentes e . Suponha, sem perda de generalidade, que . Então, a densidade de é formada pela convolução das densidades de e . É facilmente visto como um trapézio com vértices , , e .X 1 X 2 L ( - um , um ) L ( - b , b ) um ≥ b Y X 1 X 2 ( - um - b , 0 ) ( - um + b , 1 / 2 um ) ( um - b , 1 / 2 $Y = X_1 + X_2$$X_1$$X_2$$\mathcal U(-a,a)$$\mathcal U(-b,b)$$a \geq b$$Y$$X_1$$X_2$$(-a-b,0)$$(-a+b,1/2a)$$(a-b,1/2a)$$(a+b,0)$

O quantil da distribuição de , para qualquer , é, portanto, Por simetria, para , temos .$Y$$p < 1/2$

$$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$$ $p > 1/2$$q(p) = - q(1-p)$

Voltar ao estojo em questão

O exemplo acima já fornece o suficiente para fornecer uma expressão de forma fechada. Tudo o que precisamos é dividir em dois casosepara determinar qual desempenha o papel de e qual desempenha o papel de acima. (O fator 2 aqui é apenas para compensar as divisões por dois na definição de .)$|\sin x| \geq |\cos x|$$|\sin x| < |\cos x|$$2a$$2b$$\overline P(x)$

Para , em, Definimos e e obter e emos papéis se invertem. Da mesma forma, para$p < 1/2$$|\sin x| \geq |\cos x|$$a = |\sin x|/2$$b=|\cos x|/2$

$$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$ $|\sin x| < |\cos x|$$p \geq 1/2$ $$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$

Os quantis

Abaixo estão dois mapas de calor. O primeiro mostra os quantis da distribuição de para uma grade de vai de a . O coordenado fornece a probabilidade associada a cada quantil. As cores indicam o valor do quantil, com vermelho escuro indicando valores muito grandes (positivos) e azul escuro indicando grandes valores negativos. Assim, cada faixa vertical é um gráfico quantil (marginal) associado a .$P(x)$$x$$0$$2\pi$$y$$p$$P(x)$

O segundo mapa de calor abaixo mostra os quantis em si, coloridos pela probabilidade correspondente. Por exemplo, escuro vermelho corresponde a e corresponde azul escuro para e . Ciano é aproximadamente e . Isso mostra mais claramente o suporte de cada distribuição e a forma.$p = 1/2$$p=0$$p=1$$p=1/4$$p=3/4$

Algum Rcódigo de amostra

A função qprocabaixo calcula a função quantil de para um dado . Ele usa o mais geral para gerar os quantis.$P(x)$$x$qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
} 

Abaixo está um teste com a saída correspondente.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924