As probabilidades são preservadas sob a transformação da função?

Eu acho que isso é meio básico, mas digamos que eu tenho uma variável aleatória , a probabilidade P ( X ≤ a ) é a mesma que P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) para qualquer função contínua com valor real f ?$X$$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Isso vale apenas se estiver aumentando monotonicamente. Se f é monotonicamente decrescente, então P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) . Por exemplo, se f ( x ) = - x , e X é um rolamento normal, então P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ masP(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$ . Sefalternar entre aumentar e diminuir, é ainda mais complicado.$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Observe também o caso trivial de , no qual P ( f ( X ) ≤ a $f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$ é igual a 1 se e 0 em contrário.$a \geq 0$

Não. Pegue uniforme em [ - 1 , 1 ] e a = 0 . Em seguida, Pr ( X < um ) = 1 / 2 . Por outro lado, Pr ( X 2 < a 2 ) = 0 .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Isso está relacionado a perguntar:

$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$