Parametrizando as distribuições de Behrens – Fisher

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"Sobre o problema de Behrens-Fisher: uma revisão" de Seock-Ho Kim e Allen S. Cohen

Jornal de Estatísticas Educacionais e Comportamentais , volume 23, número 4, inverno, 1998, páginas 356–377


Eu estou olhando para isso e ele diz:

Fisher (1935, 1939) escolheu a estatística [onde é a estatística usual de uma amostra para ] onde é obtido no primeiro quadrante e [. . . ] A distribuição de é a distribuição de Behrens – Fisher e é definida pelos três parâmetros , e ,

τ=δ(x¯2x¯1)s12/n1+s22/n2=t2cosθt1sinθ
titi=1,2θ
(13)tanθ=s1/n1s2/n2.
τν1ν2θ

Os parâmetros foram definidos anteriormente como para .νini1i=1,2

Agora, as coisas que não são observáveis ​​aqui são e as duas populações significam , , cuja diferença é e, consequentemente, e as duas estatísticas . Os SDs de amostra e são observáveis ​​e são usados ​​para definir , de modo que é uma estatística observável, não um parâmetro populacional não observável. No entanto, vemos que está sendo usado como um dos parâmetros dessa família de distribuições!δμ1μ2δτts1s2θθ

Será que eles deveriam ter dito que o parâmetro é o arco tangente de em vez de ?σ1/n1σ2/n2s1/n1s2/n2

Michael Hardy
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Respostas:

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A distribuição de Behrens-Fisher é definida por que é um número real e e são distribuições independentes com graus de liberdade e respectivamente.t2cosθt1sinθθt2t1tν2ν1

A solução de Behrens e Fisher do problema de Behrens-Fisher envolve a distribuição de Behrens-Fisher com dependendo das observações, porque é uma solução pseudo-bayesiana (de fato, uma fiducial): essa distribuição dependente de dados é uma distribuição posterior de (com a única parte aleatória na definição de porque os dados são fixos).θτδτ

Stéphane Laurent
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Então você está dizendo que é a distribuição de que não é aleatória , mesmo que eles digam e e são aleatórios? Então é a distribuição condicional, dada a razão de variações? Parece-me que os autores deveriam ter sido muito mais explícitos sobre isso. t2cosθt1sinθθθ=arctans1/n1s2/n2s1s2
22612 Michael Hardy
Então, isso deve ser visto como outro exemplo da técnica de condicionamento de Fisher em uma estatística auxiliar?
Michael Hardy
s1 e dependem dos dados, mas os dados são fixos, é como uma distribuição posterior nas estatísticas bayesianas. Na expressão , cada um de , , e é fixo e é aleatório. s2τx¯1x¯2s1s2δ
Stéphane Laurent
Responda ao seu segundo comentário: não sei. Aqui, esta é uma estatística fiducial.
Stéphane Laurent
De acordo com esta resposta, toda a aleatoriedade em e vem da aleatoriedade em e , e o restante é fixo. Mas a justificativa para dizer que e têm as distribuições de probabilidade específicas que lhes são atribuídas é a distribuição dos dados. Devemos apenas dizer "isso é porque isso é inferência fiducial"? t1t2μ1μ2t1t2
Michael Hardy