Alguém pode explicar o conceito de 'permutabilidade'?

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Vejo o conceito de 'permutabilidade' sendo usado em diferentes contextos (por exemplo, modelos bayesianos), mas nunca entendi o termo muito bem.

  1. O que esse conceito significa?

  2. Em que circunstâncias esse conceito é invocado e por quê?

sxv
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Respostas:

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A permutabilidade visa capturar simetria em um problema, simetria em um sentido que não requer independência. Formalmente, uma sequência é intercambiável se sua distribuição de probabilidade conjunta for uma função simétrica de seus argumentos. Intuitivamente, significa que podemos trocar ou reordenar variáveis ​​na sequência sem alterar sua distribuição conjunta. Por exemplo, toda sequência de IID (independente, identicamente distribuída) é intercambiável - mas não o contrário. Cada sequência trocável é identicamente distribuída, no entanto.n

Imagine uma mesa com um monte de urnas no topo, cada uma contendo diferentes proporções de bolas vermelhas e verdes. Escolhemos uma urna aleatoriamente (de acordo com alguma distribuição anterior) e, em seguida, coletamos uma amostra (sem reposição) da urna selecionada.

Note que os vermelhos e verdes que observamos NÃO são independentes. E talvez não seja uma surpresa saber que a sequência de vermelhos e verdes que observamos é uma sequência intercambiável. O que talvez seja surpreendente é que CADA sequência permutável pode ser imaginada dessa maneira, para uma escolha adequada de urnas e distribuição prévia. (ver Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).

O conceito é invocado em todos os tipos de lugares, e é especialmente útil em contextos bayesianos, porque nessas situações temos uma distribuição prévia (nosso conhecimento da distribuição de urnas na mesa) e temos uma probabilidade de ocorrer (um modelo que representa vagamente o procedimento de amostragem de uma urna determinada, fixa). Observamos a sequência de vermelhos e verdes (os dados) e usamos essas informações para atualizar nossas crenças sobre a urna específica em nossas mãos (ou seja, nossa posterior), ou mais geralmente, as urnas na mesa.

Variáveis ​​aleatórias intercambiáveis ​​são especialmente maravilhosas porque, se tivermos infinitamente muitas delas, teremos ao nosso alcance milhares de máquinas matemáticas, das quais a mais importante delas é o Teorema de Finetti; veja Wikipedia para uma introdução.


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(+1) A premissa de permutabilidade também está no centro dos testes de permutação.
chl
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Dada a questão do quando e por quê da permutabilidade, o ponteiro de chl para testes de permutação pode merecer algumas palavras adicionais. Os testes de permutação são uma técnica não paramétrica usada quando a normalidade e suposições semelhantes são insustentáveis ​​- em vez disso, usa-se a "suposição nula" muito mais fraca da permutabilidade, aproxima a distribuição de uma estatística de teste sob essa suposição nula (permitindo) e verifica se o teste realmente observado estatística é extrema em comparação com essa distribuição nula. Há um livro acessível de P. Good, "Permutação, paramétrico e testes de hipóteses de inicialização".
S. Kolassa - Restabelece Monica
@ Stephanie Eu gosto deste livro! Ainda assim, permutabilidade é mais fraca do que a independência ...
chl
Muito obrigado por esta resposta útil, GJK, e pelas notas sobre testes de permutação, @StephanKolassa e chi. No entanto, estou confuso sobre o papel que as várias urnas estão desempenhando no exemplo. A sequência de vermelhos e verdes seria trocável com uma única urna, certo? O que a possibilidade de várias urnas (várias distribuições) adiciona?
Mars
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Eu não confiaria em nada naquele livro de Good. Certa vez, vi o que considerava um erro naquele livro, escrevi para ele e recebi uma resposta bastante vulgar.
b Kjetil HALVORSEN