Distribuições no simplex com componentes correlacionados

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Estou procurando algum tipo de distribuição sobre o simplex no qual os componentes são correlacionados de maneira ordinal. Ou seja, se p=(p1,...,pJ) é extraída de nossa distribuição no simplex, gostaria pi a ser positivamente correlacionada com a sua vizinhos pi+1 e pi1 , dizem. Um Dirichlet de baunilha claramente não pode satisfazer esse requisito. Suponho que uma opção seja uma mistura de distribuições de Dirichlet; por exemplo, quando J=4 alguém poderia tomar D(1,1,0,0)+D(0,1,1,0)+D(0,0,1,1) ou algo semelhante para induzir correlação, mas estou me perguntando se há algo um pouco mais natural. Outra opção suponho é tomar qualquer distribuição em{1,2,...,J} , digaf(j|η) , coloque uma distribuição emη takepj=f(j|η) . Então eu poderia pegar, por exemplo,ηBeta(α,β) e deixar.f(j|η)=(Jj)ηj(1η)Jj

De qualquer forma, eu gostaria que o que eu terminasse fosse o mais tratável possível. A mistura de Dirichlet é atraente porque eu poderia ter uma boa conjugação condicional para mim, mas não está claro como configurar as coisas. Essa pergunta fala sobre a distribuição normal logística, mas eu não sei muito sobre isso; é tratável para inferência bayesiana?

Obviamente, os componentes de um Dirichlet já estão correlacionados negativamente, e pedir "correlação positiva" provavelmente não é totalmente coerente, pois se é grande, então, por natureza, está ocupando a maior parte da massa e forçando a probabilidade de seus vizinhos sejam pequenos. Talvez o que eu dizer seja que esteja positivamente correlacionado com . Esperamos que a pergunta, conforme afirmada, seja suficiente para que as pessoas saibam o que eu quero e possam me ajudar.p i p i + 1 / j i p jpipipi+1/jipj

cara
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Respostas:

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Uma maneira de ter um vivendo no simplex, sem as limitações impostas pelas covariâncias negativas da distribuição do Dirichlet, é definir , para , em que a matriz tem a classificação . Adicionando a restrição , qualquer distribuição normal dimensional pode ser atribuída a .ϕ i = k j = 1 c i j log θ j i = 1 , , k - 1 ( k - 1 ) × k C = ( c i j ) k - 1 k i = 1 θ i = 1 kθ=(θ1,,θk)ϕi=j=1kcijlogθji=1,,k1(k1)×kC=(cij)k1i=1kθi=1φ = ( φ 1 , ... , φ k - 1 )k1ϕ=(ϕ1,,ϕk1)

A inferência bayesiana é tratável nessa rica classe de distribuições introduzida e estudada por Aitchison em uma série de artigos

Journal of the Royal Statistical Society, , , 139-177 (1982),44B44

Jornal da Sociedade Estatística Real, , , 136-146 (1985);47B47

e em seu livro

The Statistical Analysis of Compositional Data . Chapman & Hall: Londres (1986).

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