Os produtos de RVs trocáveis ​​são trocáveis?

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Suponha que e são duas variáveis ​​aleatórias que possuem RVs binários como seus componentes (portanto ) e ambos ( e ) são intercambiáveis, ou seja,

X=(X1,...,Xn),:(Ω,A,P)({0,1}n,2{0,1}n)
Y=(Y1,...,Yn):(Ω,A,P)({0,1}n,2{0,1}n)
Xi(ω){0,1},Yi(ω){0,1}XY
P((X1,...,Xn)=(x1,...,xn))=P((Xσ(1),...,Xσ(n))=(x1,...,xn))

e

P((Y1,...,Yn)=(y1,...,yn))=P((Yσ(1),...,Yσ(n))=(y1,...,yn))
para todas as permutações .σ

Minha pergunta é se sustenta que é intercambiável?Z=(X1Y1,...,XnYn)

Ou, de maneira diferente, quais suposições são necessárias para que Z seja intercambiável?

Sebastian
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Parece que há pelo menos um erro tipográfico na sua pergunta: você realmente quer dizer que o último componente de é " ?" A notação é opaca: você está afirmando que é uma variável aleatória com componentes binários e é uma variável aleatória cujos componentes são funções binárias de vetores binários? Quando você declara um problema de maneira abstrata, (1) é crucial que você obtenha tudo exatamente correto e (2) considere publicá-lo no site de matemática. Y n Y n X Y nZYnYnXYn
whuber
Obrigado por apontar isso. Vou esclarecer a notação #
Sebastian

Respostas:

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O produto não precisa ser trocável. O contra-exemplo a seguir mostrará o que pode dar errado e por quê.

Nós especificaremos as distribuições conjuntas de e de e assumiremos que cada uma dessas variáveis ​​aleatórias bivariadas é independente. Assim, o será intercambiável, desde que eles sejam distribuídos de forma idêntica, e da mesma forma para o Todas as variáveis ​​serão variáveis ​​de Bernoulli: por definição, suas probabilidades serão concentradas no conjuntoP1(X1,Y1)P2(X2,Y2)XEuYEu.{0 0,1}.

Seja e paraP1(0,0)=P1(1,1)=1/2P2(x,y)=1/4x,y{0,1}.

Como todas as distribuições marginais são Bernoulli a suposição de permutabilidade marginal é válida. Mas agora calcule que e mostrando que os produtos têm distribuições diferentes (e, portanto, não podem ser trocáveis).(1/2),Pr(X1Y1=0)=1/2Pr(X2Y2=0)=3/4,

Isso mostra que a distribuição conjunta é importante.

No entanto, as distribuições conjuntas podem diferir, mas os produtos podem ser trocados, portanto, a variáveis ​​aleatórias bivariadas , embora seja uma condição suficiente para a dos produtos não é uma condição necessária.(Xi,Yi)XiYi,

Um exemplo disso é dado por variáveis ​​ternárias com valores em Por exemplo, considere as seguintes probabilidades:{1,0,1}.

P1((1,y))=1/6(y{1,0,1});P1((1,1))=P1((1,1))=1/4

e

P2((x,y))=P1((-x,y)).

É fácil verificar se as distribuições marginais do atribuem probabilidades iguais de aXEu1/2±1,Y i ( 5 / 12 , 1 / 6 , 5 / 12 ) , X i Y i Y i . ( X i , Y i ) as distribuições marginais do possuem vetores de probabilidade e que as a distribuição do é a mesma que a do Observe que o tem distribuições diferentes, no entanto, porqueYEu(5/12,1/6,5/12),XEuYEuYEu.(XEu,YEu)

P1((-1,0 0))=1/60 0=P2((-1,0 0)).

Assim, o é intercambiável, o é intercambiável, o é intercambiável, mas o não é intercambiável.XEuYEuXEuYEu(XEu,YEu)

whuber
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Não. Suponha que o espaço amostral consista em três resultados igualmente prováveis ​​para os quais assume valores de e para os quais assume valores de Então são intercambiáveis ​​e . Mas os valores correspondentes de são X

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Y
(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0).
X1,X2,X3Y1,Y2,Y3Z=(X1Y1,,X3Y3)
(1,0 0,0 0),(0 0,0 0,0 0),(0 0,0 0,0 0)
tão claramente não são permutável.Z1,Z2,Z3

Jarle Tufto
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