Suponha que e são duas variáveis aleatórias que possuem RVs binários como seus componentes (portanto ) e ambos ( e ) são intercambiáveis, ou seja,
e
para todas as permutações .
Minha pergunta é se sustenta que é intercambiável?
Ou, de maneira diferente, quais suposições são necessárias para que seja intercambiável?
bayesian
exchangeability
Sebastian
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Respostas:
O produto não precisa ser trocável. O contra-exemplo a seguir mostrará o que pode dar errado e por quê.
Nós especificaremos as distribuições conjuntas de e de e assumiremos que cada uma dessas variáveis aleatórias bivariadas é independente. Assim, o será intercambiável, desde que eles sejam distribuídos de forma idêntica, e da mesma forma para o Todas as variáveis serão variáveis de Bernoulli: por definição, suas probabilidades serão concentradas no conjuntoP1 (X1,Y1) P2 (X2,Y2) XEu YEu. { 0 , 1 } .
Seja e paraP1( 0 , 0 ) = P1(1,1)=1/2 P2(x,y)=1/4 x,y∈{0,1}.
Como todas as distribuições marginais são Bernoulli a suposição de permutabilidade marginal é válida. Mas agora calcule que e mostrando que os produtos têm distribuições diferentes (e, portanto, não podem ser trocáveis).(1/2), Pr(X1Y1=0)=1/2 Pr(X2Y2=0)=3/4,
Isso mostra que a distribuição conjunta é importante.
No entanto, as distribuições conjuntas podem diferir, mas os produtos podem ser trocados, portanto, a variáveis aleatórias bivariadas , embora seja uma condição suficiente para a dos produtos não é uma condição necessária.(Xi,Yi) XiYi,
Um exemplo disso é dado por variáveis ternárias com valores em Por exemplo, considere as seguintes probabilidades:{−1,0,1}.
e
É fácil verificar se as distribuições marginais do atribuem probabilidades iguais de aXEu 1 / 2 ± 1 , Y i ( 5 / 12 , 1 / 6 , 5 / 12 ) , X i Y i Y i . ( X i , Y i ) as distribuições marginais do possuem vetores de probabilidade e que as a distribuição do é a mesma que a do Observe que o tem distribuições diferentes, no entanto, porqueYEu ( 5 / 12 , 1 / 6 , 5 / 12 ) , XEuYEu YEu. ( XEu, YEu)
Assim, o é intercambiável, o é intercambiável, o é intercambiável, mas o não é intercambiável.XEu YEu XEuYEu ( XEu, YEu)
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Não. Suponha que o espaço amostral consista em três resultados igualmente prováveis para os quais assume valores de e para os quais assume valores de Então são intercambiáveis e . Mas os valores correspondentes de sãoX (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) Y (1,0,0),(0,0,1),(0,1,0). X1,X2,X3 Y1,Y2,Y3 Z=(X1Y1,…,X3Y3) ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 )
tão claramente não são permutável.Z1, Z2, Z3
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