O problema de Monty Hall - onde nossa intuição falha?

Da Wikipedia:

Suponha que você esteja em um game show e tenha a opção de três portas: Atrás de uma porta está um carro; atrás dos outros, cabras. Você escolhe uma porta, digamos o número 1, e o anfitrião, que sabe o que está por trás das portas, abre outra porta, digamos o número 3, que tem uma cabra. Ele então diz para você: "Você quer pegar a porta número 2?" É a sua vantagem mudar sua escolha?

A resposta é, claro, sim - mas é incrivelmente inofensiva. Que mal-entendido a maioria das pessoas tem sobre a probabilidade que nos leva a coçar a cabeça - ou, melhor dizendo; Que regra geral podemos tirar desse quebra-cabeça para treinar melhor nossa intuição no futuro?

Considere duas variações simples do problema:

1. Nenhuma porta está aberta para o competidor. O anfitrião não oferece ajuda para escolher uma porta. Nesse caso, é óbvio que as chances de escolher a porta correta são 1/3.
2. Antes que o competidor seja solicitado a adivinhar, o anfitrião abre uma porta e revela uma cabra. Depois que o anfitrião revela uma cabra, o competidor precisa pegar o carro nas duas portas restantes. Nesse caso, é óbvio que as chances de escolher a porta correta são 1/2.

Para que um competidor saiba a probabilidade de sua escolha de porta estar correta, ele precisa saber quantos resultados positivos estão disponíveis para ele e dividir esse número pela quantidade de resultados possíveis. Devido aos dois casos simples descritos acima, é muito natural pensar em todos os resultados possíveis disponíveis como o número de portas para escolher e a quantidade de resultados positivos como o número de portas que ocultam um carro. Dada essa suposição intuitiva, mesmo que o anfitrião abra uma porta para revelar uma cabra depois que o competidor faz um palpite, a probabilidade de uma das portas conter um carro permanece em 1/2.

Na realidade, a probabilidade reconhece um conjunto de resultados possíveis maiores que as três portas e reconhece um conjunto de resultados positivos maiores que a porta singular do carro. Na análise correta do problema, o anfitrião fornece ao competidor novas informações, fazendo uma nova pergunta a ser abordada: qual é a probabilidade de meu palpite original ser tal que as novas informações fornecidas pelo anfitrião sejam suficientes para me informar sobre o correto porta? Ao responder a essa pergunta, o conjunto de resultados positivos e o conjunto de possíveis resultados não são portas e carros tangíveis, mas sim arranjos abstratos das cabras e dos carros. Os três resultados possíveis são os três arranjos possíveis de duas cabras e um carro atrás de três portas. Os dois resultados positivos são os dois arranjos possíveis em que o primeiro palpite do competidor é falso. Em cada um desses dois arranjos, as informações fornecidas pelo anfitrião (uma das duas portas restantes estão vazias) são suficientes para o competidor determinar a porta que oculta o carro.

Em resumo:

Temos a tendência de procurar um mapeamento simples entre as manifestações físicas de nossas escolhas (as portas e os carros) e o número de resultados possíveis e desejados em uma questão de probabilidade. Isso funciona bem nos casos em que nenhuma informação nova é fornecida ao competidor. No entanto, se o competidor receber mais informações (por exemplo, uma das portas que você não escolheu certamente não é um carro), esse mapeamento será interrompido e a pergunta correta a ser feita será mais abstrata.

Acho que as pessoas acham a solução mais intuitiva se você a alterar para 100 portas, fechando primeiro, segundo e 98 portas. Da mesma forma para 50 portas, etc.

Para responder à pergunta original : Nossa intuição falha por causa da narrativa. Ao relatar a história na mesma ordem que o roteiro da TV, ficamos confusos. Fica muito mais fácil se pensarmos no que acontecerá com antecedência. O mestre do teste revelará uma cabra, então nossa melhor chance é selecionar uma porta com uma cabra e depois mudar. O enredo coloca muita ênfase na perda causada por nossa ação, em uma das três chances de escolhermos o carro.

A resposta original:

Nosso objetivo é eliminar as duas cabras. Fazemos isso marcando uma cabra. O quizmaster é forçado a escolher entre revelar o carro ou a outra cabra. Revelar o carro está fora de questão, então o quizmaster irá revelar e eliminar a única cabra que não conhecíamos. Depois, mudamos para a porta restante, eliminando assim a cabra que marcamos com nossa primeira escolha e pegamos o carro.

Essa estratégia só falha se não marcarmos uma cabra, mas o carro. Mas isso é improvável: há duas cabras e apenas um carro.

Portanto, temos uma chance de 2 em 3 ganhar o carro.

A resposta não é "claro que sim!" A resposta correta é: "Eu não sei, você pode ser mais específico?"

A única razão pela qual você acha que é correto é porque Marliyn vos Savant disse isso. Sua resposta original à pergunta (embora a pergunta fosse amplamente conhecida antes dela) apareceu na revista Parade em 9 de setembro de 1990 . ela escreveu que a resposta "correta" para essa pergunta era trocar de porta, porque trocar de porta dava uma maior probabilidade de ganhar o carro (2/3 em vez de 1/3). Ela recebeu muitas respostas dos doutores em matemática e de outras pessoas inteligentes que disseram que ela estava errada (embora muitas delas também estivessem incorretas).

Suponha que você esteja em um game show e tenha a opção de três portas. Atrás de uma porta está um carro, atrás das outras, cabras. Você escolhe uma porta, digamos # 1, e o anfitrião, que sabe o que está por trás das portas, abre outra porta, digamos # 3 , que tem uma cabra. Ele diz para você: "Você quer pegar a porta 2?" É vantajoso mudar a sua escolha de portas? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Eu atrevi a parte importante desta questão lógica. O que é ambíguo nessa afirmação é:

Monty Hall sempre abre uma porta? (Qual seria a sua vantagem de trocar de porta se ele só abrisse uma porta perdida quando você escolhesse uma porta vencedora? Resposta : Não)

Monty Hall sempre abre uma porta perdida ? (A questão especifica que ele sabe onde o carro está, e este especial tempo ele mostrou uma cabra atrás de um. O que suas chances se ele aleatoriamente abriu uma porta? Ie O Monty pergunta queda ou o que se às vezes ele escolhe para mostrar portas vencedora .)

Monty Hall sempre abre uma porta que você não escolheu?

Os princípios básicos desse quebra-cabeça lógico foram repetidos mais de uma vez e muitas vezes não são especificados o suficiente para fornecer a resposta "correta" de 2/3.

Uma lojista diz que tem dois novos filhotes para mostrar, mas não sabe se são machos, fêmeas ou um par. Você diz a ela que deseja apenas um homem, e ela telefona para o sujeito que está tomando banho. "Pelo menos um é homem?" ela pergunta para ele. "Sim!" ela informa com um sorriso. Qual é a probabilidade de o outro ser homem? - Stephen I. Geller, Pasadena, Califórnia

O sujeito olhou para os dois cães antes de responder "Sim" ou pegou um cão aleatório e descobriu que era um macho e depois respondeu "Sim".

Digamos que uma mulher e um homem (que não têm parentesco) tenham dois filhos. Sabemos que pelo menos um dos filhos da mulher é menino e que o filho mais velho do homem é menino. Você pode explicar por que as chances de a mulher ter dois filhos não são iguais às chances de o homem ter dois filhos? Meu professor de álgebra insiste que a probabilidade é maior de que o homem tenha dois filhos, mas acho que as chances podem ser as mesmas. O que você acha?

Como sabemos que as mulheres têm pelo menos um menino? Nós olhamos por cima do muro um dia e vimos um deles? ( Resposta: 50%, igual ao homem )

A questão chegou a tropeçar em nosso próprio Jeff Atwood . Ele fez esta pergunta :

Digamos que, hipoteticamente falando, você conheceu alguém que lhe disse que tinha dois filhos, e um deles é uma menina. Quais são as chances de uma pessoa ter um menino e uma menina?

Jeff continua argumentando que era uma pergunta simples, feita em linguagem simples e deixa de lado as objeções de alguns que dizem que a pergunta está incorretamente redigida se você deseja que a resposta seja 2/3.

Mais importante ainda, é por isso que a mulher ofereceu a informação. Se ela estava falando como as pessoas normais , quando alguém diz "uma delas é menina", inevitavelmente a outra é menino. Se quisermos assumir que essa é uma questão lógica, com a intenção de nos fazer tropeçar, devemos pedir que a questão seja mais claramente definida. A mulher ofereceu o sexo de um de seus filhos, selecionado aleatoriamente, ou ela está falando sobre o conjunto de seus dois filhos.

É claro que a pergunta está mal formulada, mas as pessoas não percebem. Quando perguntas semelhantes são feitas, onde as chances de mudar são muito maiores, as pessoas percebem que isso deve ser um truque (e questionam o motivo do anfitrião) ou obtêm a resposta "correta" da troca, como na questão das cem portas . Isso também é apoiado pelo fato de que os médicos, quando questionados sobre a probabilidade de uma mulher ter uma doença específica após testar positivo (eles precisam determinar se ela tem a doença ou se é um falso positivo), são melhores em chegar ao resposta correta, dependendo de como a pergunta é formulada. Há um maravilhoso TED Talk que, no meio do caminho, aborda exatamente esse caso.

Ele descreveu as probabilidades associadas a um teste de câncer de mama: 1% das mulheres testadas têm a doença e o teste é 90% exato, com uma taxa de 9% de falsos positivos. Com todas essas informações, o que você diz a uma mulher que é positiva quanto à probabilidade de ter a doença?

Se ajudar, aqui está a mesma pergunta formulada de outra maneira:

100 em cada 10.000 mulheres com 40 anos que participam de exames de rotina têm câncer de mama. 90 de cada 100 mulheres com câncer de mama receberão uma mamografia positiva. 891 de 9.900 mulheres sem câncer de mama também receberão uma mamografia positiva. Se 10.000 mulheres nessa faixa etária forem submetidas a uma triagem de rotina, qual a porcentagem de mulheres com mamografias positivas que realmente terão câncer de mama?

Eu modificaria o que Graham Cookson disse um pouco. Acho que a coisa realmente crucial que as pessoas ignoram não é sua primeira escolha, mas a escolha do anfitrião e a suposição de que o anfitrião fez questão de não revelar o carro.

De fato, quando discuto esse problema em uma aula, eu o apresento em parte como um estudo de caso para esclarecer suas suposições. É da sua vantagem mudar se o anfitrião está apenas certificando-se de revelar uma cabra . Por outro lado, se o hospedeiro escolheu aleatoriamente entre as portas 2 e 3 e revelou uma cabra, então não há vantagem em trocar.

(Obviamente, o resultado prático é que, se você não conhece a estratégia do host, deve mudar de qualquer maneira.)

Isso não dá uma regra geral, mas acho que uma das razões pelas quais é um quebra-cabeça desafiador é que nossa intuição não lida muito bem com a probabilidade condicional. Existem muitos outros quebra-cabeças de probabilidade que jogam no mesmo fenômeno . Desde que eu estou ligando para o meu blog, aqui está um post especificamente no Monty Hall .

Concordo que os alunos achem esse problema muito difícil. A resposta típica que recebo é que, depois que você mostra uma cabra, há 50:50 de chance de pegar o carro, então por que isso importa? Os estudantes parecem divorciar sua primeira escolha da decisão que agora estão sendo solicitados a tomar, ou seja, eles veem essas duas ações como independentes. Em seguida, lembro-lhes que eles tinham duas vezes mais chances de escolher a porta errada inicialmente, por isso é melhor alternar.

Nos últimos anos, comecei a jogar o jogo de verdade e isso ajuda os alunos a entender melhor o problema. Uso três "papel higiênico" de papel higiênico e em dois deles há clipes de papel e, no terceiro, uma nota de 5 libras.

Acredito que é mais uma questão de lógica do que uma dificuldade com probabilidade que torna a solução Monty Hall surpreendente. Considere a seguinte descrição do problema.

Você decide em casa, antes de ir ao programa de TV, se vai trocar de porta ou ficar com a sua primeira escolha, aconteça o que acontecer durante o programa. Ou seja, você escolhe entre as estratégias "Permanecer" ou "Alternar" antes de jogar o jogo. Não há incerteza envolvida nessa escolha de estratégia. Ainda não há necessidade de introduzir probabilidades.

Vamos entender as diferenças entre as duas estratégias. Novamente, não falaremos sobre probabilidades.

Sob a estratégia "Ficar", você ganha se e somente se sua primeira escolha for a porta "boa". Por outro lado, na estratégia "Switch", você ganha se e somente se sua primeira escolha for uma porta "ruim". Por favor, pense cuidadosamente sobre esses dois casos por um minuto, especialmente o segundo. Mais uma vez, observe que ainda não falamos sobre probabilidades. É apenas uma questão de lógica.

Agora vamos falar sobre probabilidades. Supondo que você tenha atribuído inicialmente a probabilidade ao prêmio atrás de cada porta, é claro que, na estratégia "Permanecer", sua probabilidade de ganhar é (é a probabilidade de escolher a porta "boa"). Mas, na estratégia "Alternar", sua probabilidade de ganhar é de (é a probabilidade de escolher uma porta "ruim"). E é por isso que a estratégia "Switch" é melhor.$1/3$$1/3$$2/3$

PS Em 1990, o professor Larry Denenberg enviou uma carta ao apresentador de programa de TV Monty Hall pedindo sua permissão para usar em um livro seu nome na descrição do conhecido problema das três portas.

Aqui está uma imagem de parte da resposta de Monty a essa carta, onde podemos ler:

"a meu ver, não faria diferença depois que o jogador selecionasse a Porta A e recebesse a Porta C - por que ele deveria tentar mudar para a Porta B?"

Portanto, podemos concluir com segurança que Monty Hall (o próprio homem) não entendeu o problema de Monty Hall!

Não é necessário saber sobre probabilidade condicional ou o Teorema de Bayes para descobrir que é melhor mudar sua resposta.

Suponha que você escolha a Porta 1. Inicialmente, a probabilidade de a Porta 1 ser vencedora é 1/3 e a probabilidade de a Porta 2 ou 3 ser vencedora é 2/3. Se a Porta 2 se mostrar perdida por escolha do host, a probabilidade de que 2 ou 3 sejam vencedores ainda será 2/3. Mas como a Porta 2 é um perdedor, a Porta 3 deve ter uma probabilidade de 2/3 de ser um vencedor.

A lição? Reformule a pergunta e procure uma estratégia em vez de olhar para a situação. Vire a coisa de cabeça para baixo, trabalhe para trás ...

As pessoas geralmente são ruins em trabalhar com o acaso. Os animais geralmente se saem melhor quando descobrem que A ou B oferecem um pagamento mais alto, em média ; eles se atêm à escolha com a melhor média. (não tem uma referência pronta - desculpe.)

A primeira coisa que as pessoas são tentadas a fazer quando vêem uma distribuição 80/20 é espalhar suas escolhas para combinar com o pagamento: 80% na melhor opção e 20% na outra. Isso resultará em um pagamento de 68%.

Novamente, existe um cenário válido para as pessoas escolherem essa estratégia: se as probabilidades mudarem ao longo do tempo, há um bom motivo para enviar uma investigação e tentar a escolha com a menor chance de sucesso.

Uma parte importante da estatística matemática realmente estuda o comportamento dos processos para determinar se eles são aleatórios ou não.

Eu acho que há várias coisas acontecendo.

Por um lado, a instalação implica mais informações do que a solução leva em consideração. Que é um game show, e o apresentador está nos perguntando se queremos mudar.

Se você presumir que o apresentador não deseja que o programa gaste dinheiro extra (o que é razoável), seria de supor que ele tentaria convencê-lo a mudar se você tivesse a porta certa.

Essa é uma maneira de senso comum de encarar o problema que pode confundir as pessoas, no entanto, acho que a questão principal não é entender como a nova opção é diferente da primeira (o que é mais claro no caso das 100 portas).

Vou citar este ótimo artigo sobre lesswrong:

As hipóteses possíveis são Carro na porta 1, Carro na porta 2 e Carro na porta 3; antes do jogo começar, não há razão para acreditar que qualquer uma das três portas tenha mais chances do que as outras de conter o carro e, portanto, cada uma dessas hipóteses tem probabilidade prévia de 1/3.

O jogo começa com a nossa seleção de uma porta. Isso, por si só, não é evidência de onde o carro está, é claro - estamos assumindo que não temos informações particulares sobre isso, além de que está atrás de uma das portas (esse é o objetivo do jogo!). Uma vez feito isso, no entanto, teremos a oportunidade de "executar um teste" para obter alguns "dados experimentais": o host executará sua tarefa de abrir uma porta que é garantida para conter uma cabra. Representaremos o resultado O host abre a porta 1 por um triângulo, o resultado o host abre a porta 2 por um quadrado e o resultado o host abre a porta 3 por um pentágono - dividindo assim nosso espaço de hipóteses mais finamente em possibilidades como "Carro na porta 1 e o host abre a porta 2 "," carro na porta 1 e o host abre a porta 3 ", etc:

Antes de fazermos a seleção inicial de uma porta, é provável que o anfitrião abra uma das portas que contêm cabras. Assim, no início do jogo, a probabilidade de cada hipótese da forma "Carro na porta X e host abre a porta Y" tem uma probabilidade de 1/6, conforme mostrado. Por enquanto, tudo bem; tudo ainda está perfeitamente correto.

Agora nós selecionamos uma porta; digamos que escolhemos a Porta 2. O host então abre a Porta 1 ou a Porta 3, para revelar uma cabra. Vamos supor que ele abra a Porta 1; nosso diagrama agora se parece com isso:

Mas isso mostra probabilidades iguais de o carro estar atrás das portas 2 e 3!

Você entendeu o erro?

Lá vai você, é assim que sua intuição falha com você.

Confira a solução correta no artigo completo . Inclui :

• Explicação do teorema de Bayes
• Abordagem incorreta de Monty Hall
• Abordagem correta de Monty Hall
• Mais problemas ...

Na minha experiência, é o fato de que as pessoas não saltam automaticamente das palavras para a matemática. Normalmente, quando apresento pela primeira vez, as pessoas entendem errado. No entanto, trago um baralho de 52 cartas e peça que elas escolham uma. Eu então revelo cinquenta cartas e pergunto se elas querem trocar. A maioria das pessoas entendeu. Eles sabem intuitivamente que provavelmente receberam o cartão errado quando existem 52 deles e quando vêem cinquenta deles entregues, a decisão é bem simples. Eu não acho que seja tanto um paradoxo quanto uma tendência de desligar a mente em problemas de matemática.