Eu sei com constantes , então, dado , é fácil de resolver. Eu também sei que você não pode aplicar isso quando é uma função não linear, como neste caso , e para resolver isso, eu tenho que fazer uma aproximação com Taylor. Então, minha pergunta é como resolver ?? também me aproximo de Taylor?a , b E ( X ) E ( 1 / X ) ≠ 1 / E ( X ) E ( ln ( 1 + X ) )
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Respostas:
No papel
uma expansão de Taylor de segunda ordem em torno de é usada para aproximar :E [ log ( x ) ]x0=E[x] E[log(x)]
Essa aproximação parece funcionar muito bem para a aplicação deles.
Modificar isso levemente para atender à questão em questão gera, pela linearidade da expectativa,
No entanto, pode acontecer que o lado esquerdo ou o lado direito não exista enquanto o outro existe e, portanto, deve-se tomar cuidado ao empregar essa aproximação.
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Além disso, se você não precisar de uma expressão exata para , muitas vezes o limite fornecido pela desigualdade de Jensen é bom o suficiente: log [ E ( X ) + 1 ] ≥ E [ log ( X + 1 ) ]E[log(X+1)]
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Suponha que tenha densidade de probabilidade . Antes de começar a aproximar, lembre-se de que, para qualquer função mensurável , é possível provar que no sentido de que, se a primeira integral existe, o mesmo acontece com a segunda e eles têm o mesmo valor.f X g E [ g ( X ) ] = ∫ g ( X )X fX g
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Existem duas abordagens comuns:
Se você conhece a distribuição de , poderá encontrar a distribuição de e, a partir daí, encontrar sua expectativa; alternativamente, você poderá usar a lei do estatístico inconsciente diretamente (ou seja, integrar sobre o domínio de ).ln ( 1 + X ) ln ( 1 + x ) f X ( x ) xX ln(1+X) ln(1+x)fX(x) x
Como você sugere, se você conhece os primeiros momentos, pode calcular uma aproximação de Taylor.
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