Interpretando três formas de um "modelo misto"

Há uma distinção que está me atrapalhando com modelos mistos, e eu estou me perguntando se eu poderia ter alguma clareza sobre isso. Vamos supor que você tenha um modelo misto de dados de contagem. Há uma variável que você sabe que deseja como efeito fixo (A) e outra variável para o tempo (T), agrupada por uma variável "Site".

Como eu entendo:

glmer(counts ~ A + T, data=data, family="Poisson") é um modelo de efeitos fixos.

glmer(counts ~ (A + T | Site), data=data, family="Poisson") é um modelo de efeito aleatório.

Minha pergunta é quando você tem algo como:

glmer(counts ~ A + T + (T | Site), data=data, family="Poisson")o que é isso? É um efeito aleatório? Um efeito fixo? O que realmente está sendo realizado colocando T nos dois lugares?

Quando algo deve aparecer apenas na seção de efeitos aleatórios da fórmula do modelo?

Isso pode se tornar mais claro, escrevendo a fórmula do modelo para cada um desses três modelos. Seja $Y_{ij}$ a observação da pessoa $i$ no local $j$ em cada modelo e defina $A_{ij}, T_{ij}$ analogicamente para se referir às variáveis ​​em seu modelo.

glmer(counts ~ A + T, data=data, family="Poisson") é o modelo

que é apenas um modelo de regressão de poisson comum.

glmer(counts ~ (A + T|Site), data=data, family="Poisson") é o modelo

onde são efeitos aleatórios que são compartilhados por cada observação feita por indivíduos do local j . Esses efeitos aleatórios podem ser correlacionados livremente (ou seja, nenhuma restrição é feita em Σ ) no modelo especificado. Para impor independência, você deve colocá-los dentro de colchetes diferentes, por exemplo , faria isso. Este modelo assume que o log ( E ( Y i $\eta_{j} = (\eta_{j0}, \eta_{j1}, \eta_{j2}) \sim N(0, \Sigma)$$j$$\Sigma$(A-1|Site) + (T-1|Site) + (1|Site) é α 0 para todos os sites, mas cada site tem um deslocamento aleatório ( η j 0 ) e tem uma relação linear aleatória com ambos A i j , T i j .$\log \big( E(Y_{ij}) \big)$$\alpha_0$$\eta_{j0}$$A_{ij}, T_{ij}$

glmer(counts ~ A + T + (T|Site), data=data, family="Poisson") é o modelo

Então agora o tem algum relacionamento "médio" com A i j , T i j , dado pelos efeitos fixos θ 0 , θ 1 , θ 2, mas esse relacionamento é diferente para cada site e essas diferenças são capturados pelos efeitos aleatórios, γ j 0 , γ j 1 , γ j $\log \big( E(Y_{ij}) \big)$$A_{ij}, T_{ij}$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$\gamma_{j0}, \gamma_{j1}, \gamma_{j2}$. Ou seja, a linha de base é deslocada aleatoriamente e as inclinações das duas variáveis ​​são deslocadas aleatoriamente e todos do mesmo site compartilham o mesmo deslocamento aleatório.

o que é isso? É um efeito aleatório? Um efeito fixo? O que realmente está sendo realizado colocando T nos dois lugares?

é uma das suas covariáveis. Não é um efeito aleatório -é um efeito aleatório. Existe um efeito fixo de T que é diferente dependendo do efeito aleatório conferido por- γ j 1 no modelo acima. O que é conseguido com a inclusão desse efeito aleatório é permitir a heterogeneidade entre os locais na relação entre T e log ( E ( Y i j ) ) .$T$Site$T$Site$\gamma_{j1}$$T$$\log \big( E(Y_{ij}) \big)$

Quando algo deve aparecer apenas na seção de efeitos aleatórios da fórmula do modelo?

É uma questão do que faz sentido no contexto do aplicativo.

Em relação à interceptação - você deve manter a interceptação fixa por várias razões (veja, por exemplo, aqui ); re: a interceptação aleatória, , atua principalmente para induzir correlação entre as observações feitas no mesmo local. Se não faz sentido que essa correlação exista, o efeito aleatório deve ser excluído.$\gamma_{j0}$

Em relação às pistas aleatórias, um modelo com apenas pistas aleatórias e sem pistas fixas reflete a crença de que, para cada site, existe alguma relação entre o e suas covariáveis ​​para cada site, mas se você fizer a média dessas efeitos sobre todos os sites, então não há relacionamento. Por exemplo, se você tivesse uma inclinação aleatória em T, mas nenhuma inclinação fixa, seria como dizer que o tempo, em média, não tem efeito (por exemplo, nenhuma tendência secular nos dados), mas cada um está caminhando em uma direção aleatória ao longo do tempo, o que poderia fazer sentido. Novamente, isso depende da aplicação.$\log \big( E(Y_{ij}) \big)$$T$Site

Observe que você pode ajustar o modelo com e sem efeitos aleatórios para ver se isso está acontecendo - você não verá efeito no modelo fixo, mas efeitos aleatórios significativos no modelo subseqüente. Devo advertir que decisões como essa geralmente são melhor tomadas com base no entendimento do aplicativo e não na seleção de modelos.

Você deve observar que Tnenhum dos termos de efeitos aleatórios do seu modelo é um efeito fixo. Efeitos aleatórios são apenas os efeitos que aparecem após o |em umlmer fórmula!

Uma discussão mais aprofundada sobre o que essa especificação faz você pode encontrar nesta última pergunta do faq .

A partir dessas perguntas, seu modelo deve fornecer o seguinte (para seu efeito fixo T):

• Uma inclinação global
• Um termo de declives aleatórios especificando o desvio da inclinação geral para cada nível de Site
• A correlação entre as inclinações aleatórias.

E como dito por @ mark999, essa é realmente uma especificação comum. Em projetos de medidas repetidas, geralmente você deseja ter inclinações e correlações aleatórias para todos os fatores de medidas repetidas (dentro dos sujeitos).

Veja o documento a seguir para alguns exemplos (que eu sempre cito aqui):

Judd, CM, Westfall, J. & Kenny, DA (2012). Tratar estímulos como um fator aleatório na psicologia social: uma solução nova e abrangente para um problema generalizado, mas amplamente ignorado. Jornal de Personalidade e Psicologia Social , 103 (1), 54-69. doi: 10.1037 / a0028347

Algo deve aparecer apenas na parte aleatória quando você não estiver particularmente interessado em seu parâmetro, por si só, mas precisar incluí-lo para evitar dados dependentes. Por exemplo, se os filhos são aninhados nas classes, você geralmente deseja filhos apenas como um efeito aleatório.