Por que o lema de Neyman-Pearson é um lema e não um teorema?

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Esta é mais uma questão de história do que uma questão técnica.

Por que o `` lema de Neyman-Pearson '' é um lema e não um teorema?

link to wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : A questão não é sobre o que é um lema e como os lemas são usados ​​para provar um teorema, mas sobre a história do lema de Neyman-Pearson. Foi usado para provar um teorema e depois foi mais útil? Existe alguma evidência disso além da suspeita de que esse fosse o caso?

Tauto
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Terminologia : Um lema é um "teorema auxiliar", uma proposição com pouca aplicabilidade, exceto que faz parte da prova de um teorema maior. Em alguns casos, à medida que a importância relativa de diferentes teoremas se torna mais clara, o que antes era considerado um lema agora é considerado um teorema, embora a palavra "lema" permaneça no nome.
Carl
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@ Carl Claro, mas por que o lema Neyman-Pearson é um lema e não um teorema? houve um teorema? e há evidência disso? Como eu disse, é uma questão de história, não técnica.
Tauto
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Bem, o lema do PN usado para provar o teorema de Karlin-Rubin, e o teste de pontuação de Rao é localmente mais poderoso; esses resultados talvez sejam aplicados mais amplamente que o próprio lema NP (ponto nulo versus ponto alternativo).
Scortchi - Restabelece Monica

Respostas:

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NB: Esta historicamente é a primeira resposta à questão do OP. Nas estatísticas, o lema Neyman – Pearson foi introduzido por Jerzy Neyman e Egon Pearson em um artigo em 1933 .. Além disso, é utilizado na prática por estatísticos como um teorema , não como um lema, e é chamado de lema em grande parte por causa do artigo de 1936. IMHO, o tratamento histórico não responde à pergunta "por que", e este post tenta fazer isso.

O que é um lema em contraste com um teorema ou corolário é abordado em outro lugar e aqui . Mais exatamente, quanto à questão da definição: lema, primeiro significado : um teorema subsidiário ou intermediário em um argumento ou prova. Concordo com o dicionário de Oxford, mas teria mudado a ordem das palavras e observe o idioma exato: teorema intermediário ou subsidiário. Alguns autores acreditam erroneamente que um lema deve ser intermediário em uma prova, e esse é o caso de muitos lemas sem nome. Entretanto, é comum, pelo menos para os lemas nomeados, que o resultado do lema seja uma implicação decorrente de um teorema já comprovado, de modo que o lema seja um teorema adicional, isto é, teorema subsidiário. Da Enciclopédia do Novo Mundo A distinção entre teoremas e lemas é bastante arbitrária, já que o principal resultado de um matemático é a alegação menor de outro. O lema de Gauss e o de Zorn, por exemplo, são bastante interessantes por si só, pois alguns autores apresentam o lema nominal sem continuar a usá-lo na prova de qualquer teorema. Outro exemplo disso é o lema de Evans, que não segue a prova de um simples teorema da geometria diferencial que ... mostra que a primeira equação da estrutura de Cartan é uma igualdade de dois postulados do tetrad ... O postulado do tetrad [ Sic , ele mesmo] é a fonte do lema de Evans da geometria diferencial. A Wikipedia menciona a evolução dos lemas no tempo:Em alguns casos, à medida que a importância relativa de diferentes teoremas se torna mais clara, o que antes era considerado um lema agora é considerado um teorema, embora a palavra "lema" permaneça no nome.

Entretanto, observe bem que se eles são ou não lemas isolados também são teoremas. Ou seja, um teorema que é um lema pode às vezes ser uma resposta para a pergunta: "O que o teorema (acima) implica?" Às vezes, os lemas são um trampolim usado para estabelecer um teorema.

É claro ao ler o artigo de 1933: IX. Sobre o problema dos testes mais eficientes de hipóteses estatísticas. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson e Karl Pearson , que o teorema que está sendo explorado é o teorema de Bayes . Alguns leitores deste post têm dificuldade em relacionar o teorema de Bayes com o artigo de 1933, apesar de uma introdução bastante explícita a esse respeito. Observe que o artigo de 1933 está repleto de diagramas de Venn. Os diagramas de Venn ilustram a probabilidade condicional , que é o teorema de Bayes. Algumas pessoas se referem a isso como regra de Bayes, pois é um exagero se referir a essa regra como sendo um "teorema". Por exemplo, se chamarmos 'adição' de um teorema, em vez de ser uma regra, confundiríamos ao invés de explicar.

Portanto, o lema de Neyman-Pearson é um teorema referente ao teste mais eficiente das hipóteses bayesianas, mas atualmente não é chamado assim porque não era para começar.

Carl
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Estou um pouco confuso com o que exatamente você está dizendo aqui. Claramente, não é que o lema NP seja usado para provar o teorema de Bayes, neste artigo ou em outro lugar. Portanto, a pergunta "Por que 'lema'?" permanece. O lema NP é usado nas Seções III e IV deste artigo na derivação de testes semelhantes do UMP, e pode ser justamente chamado de lema por esse motivo.
Scortchi - Restabelece Monica
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Sua afirmação "Portanto, o lema de Neyman-Pearson poderia ser chamado de teorema" é infundada e não explica nada por que nos referimos ao "lema de Neyman-Pearson" como um lema. Além disso, o que isso tem a ver com o teorema de Bayes não é totalmente claro e parece falso. Sua resposta merece votos negativos por ser vaga e sem sentido, mas como você não gosta desses votos negativos, apenas afirmo que os merece sem dar nenhum.
Sextus Empiricus
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Um lema é apenas um teorema (colocado apenas em um contexto diferente como uma 'ajuda' em uma prova maior). Esta não é a pergunta e foi respondida em vários tópicos no site de matemática. Sabemos que os lemas podem começar a viver uma vida por conta própria (sem o antigo teorema que eles ajudaram). A pergunta pede explicitamente a história disso em relação ao lema de Neyman Pearson. Francisco já deu uma boa resposta para isso e não há necessidade de outra resposta. Eu critiquei sua resposta porque é confusa (com coisas sobre o governo de Bayes) e não é útil ou até prejudicial.
Sextus Empiricus
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Você tem uma fonte para essa interpretação / uso da palavra 'lema'? Caso contrário, acredito que você simplesmente não entendeu o que o "lema" significa. Para pedir emprestado o idioma da resposta vinculada do site complementar, eu interpretaria as versões atual e anterior desta pergunta como "Qual é o resultado mais significativo para o qual o lema de Neyman-Pearsion era um fato" auxiliar "".
Juho Kokkala
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"Isso é um exagero, porque não precisa ser" outro "." De onde vem essa afirmação? Isso (sem ser, originalmente, parte de uma prova para o teorema de 'outro') não é como os matemáticos usam o termo lema. É muito semelhante ao uso na lógica A -> B -> C e a pergunta pergunta o que é C no caso do lema B sendo o lema de Neyman Pearson (definitivamente não é a regra / teorema de Bayes).
Sextus Empiricus
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A versão clássica aparece em 1933, mas a primeira ocasião em que é referida como "lema" está possivelmente no artigo de Neyman e Pearson, em 1936, Contribuições para a teoria de testar hipóteses estatísticas (p. 1-37 do Statistical Research Memoirs Volume I) . O lema, e a proposição que foi usada para provar, foram declarados da seguinte forma: insira a descrição da imagem aqui

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Aqui está uma lista de artigos / livros relevantes, se alguém estiver interessado na história do lema Neyman-Pearson:

  • A história de Neyman – Pearson: 1926-34 , ES Pearson, em Research Papers in Statistical: Festschrift for J. Neyman .
  • Introdução a Neyman e Pearson (1933) Sobre o problema dos testes mais eficientes de hipóteses estatísticas , EL Lehmann, em Avanços em estatística: fundamentos e teoria básica .
  • Neyman-Da Vida , C. Reid.
Francis
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Sim, mas o lema de Neyman-Pearson se encaixava na definição de lema em 1933, ou seja, era um lema na época, razão pela qual foi posteriormente chamado de lema.
Carl Carl
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@Carl, qual é o seu ponto usando 'but'. Há algo de errado com esta resposta?
Sextus Empiricus
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@MartijnWeterings: você pode pesquisar o termo no Google Scholar e limitar o período. O uso mais antigo é da PL Hsu, ao que parece. A nota da aula de Wald de 1940 também a citou.
Francis
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@Carl, você perdeu a parte a seguir? " NB : A questão não é sobre o que é um lema e como os lemas são usados ​​para provar um teorema, mas sobre a história do lema de Neyman-Pearson." É sobre a história . A pergunta pede um contexto de como esse teorema foi chamado de lema. Não é por que um teorema (ou mais especificamente esse teorema) pode ser chamado de lema.
Sextus Empiricus
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@Carl, essa resposta explica muito bem como ela cumpriu esse papel e inclui um histórico de como as pessoas o estão vendo.
Sexto Empírico