Como calcular se minha regressão linear tem uma diferença estatisticamente significativa de uma linha teórica conhecida?

Eu tenho alguns dados que se ajustam ao longo de uma linha aproximadamente linear:

Quando faço uma regressão linear desses valores, obtenho uma equação linear:

Em um mundo ideal, a equação deve ser $y = x$ .

Claramente, meus valores lineares estão próximos desse ideal, mas não exatamente. Minha pergunta é: como posso determinar se esse resultado é estatisticamente significativo?

O valor de 0,997 é significativamente diferente de 1? -0,01 é significativamente diferente de 0? Ou eles são estatisticamente iguais e posso concluir que $y=x$ com algum nível de confiança razoável?

O que é um bom teste estatístico que posso usar?

obrigado

Esse tipo de situação pode ser tratado por um teste F padrão para modelos aninhados . Como você deseja testar os dois parâmetros em um modelo nulo com parâmetros fixos, suas hipóteses são:

O teste F envolve o ajuste de ambos os modelos e a comparação da soma dos quadrados residuais, que são:

A estatística do teste é:

O valor p correspondente é:

Implementação em R: suponha que seus dados estejam em um quadro de dados chamado DATAcom variáveis ​​chamadas ye x. O teste F pode ser realizado manualmente com o seguinte código. Nos dados simulados simulados que usei, você pode ver que os coeficientes estimados estão próximos dos da hipótese nula, e o valor p do teste não mostra evidências significativas para falsificar a hipótese nula de que a verdadeira função de regressão é a função de identidade.

#Generate mock data (you can substitute your data if you prefer)
set.seed(12345);
n    <- 1000;
x    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 5);
e    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 2/sqrt(1+abs(x)));
y    <- x + e;
DATA <- data.frame(y = y, x = x);

#Fit initial regression model
MODEL <- lm(y ~ x, data = DATA);

#Calculate test statistic
SSE0   <- sum((DATA$y-DATA$x)^2);
SSEA   <- sum(MODEL$residuals^2);
F_STAT <- ((n-2)/2)*((SSE0 - SSEA)/SSEA);
P_VAL  <- pf(q = F_STAT, df1 = 2, df2 = n-2, lower.tail = FALSE);

#Plot the data and show test outcome
plot(DATA$x, DATA$y,
     main = 'All Residuals',
     sub  = paste0('(Test against identity function - F-Stat = ',
            sprintf("%.4f", F_STAT), ', p-value = ', sprintf("%.4f", P_VAL), ')'),
     xlab = 'Dataset #1 Normalized residuals',
     ylab = 'Dataset #2 Normalized residuals');
abline(lm(y ~ x, DATA), col = 'red', lty = 2, lwd = 2);

A summarysaída e plotpara esses dados são assim:

summary(MODEL);

Call:
lm(formula = y ~ x, data = DATA)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.8276 -0.6742  0.0043  0.6703  5.1462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.02784    0.03552  -0.784    0.433    
x            1.00507    0.00711 141.370   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.122 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9524,    Adjusted R-squared:  0.9524 
F-statistic: 1.999e+04 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

F_STAT;
[1] 0.5370824

P_VAL;
[1] 0.5846198

Aqui está um método gráfico interessante, que escrevi do excelente livro de Julian Faraway "Linear Models With R (Second Edition)". São intervalos de confiança simultâneos de 95% para a interceptação e a inclinação, plotados como uma elipse.

Para ilustração, criei 500 observações com uma variável "x" com distribuição N (média = 10, sd = 5) e, em seguida, uma variável "y" cuja distribuição é N (média = x, sd = 2). Isso gera uma correlação de pouco mais de 0,9, que pode não ser tão estreita quanto seus dados.

Você pode verificar a elipse para ver se o ponto (interceptação = 0, inclinação = 1) cai dentro ou fora desse intervalo de confiança simultâneo.

library(tidyverse)
library(ellipse)
#> 
#> Attaching package: 'ellipse'
#> The following object is masked from 'package:graphics':
#> 
#>     pairs

set.seed(50)
dat <- data.frame(x=rnorm(500,10,5)) %>% mutate(y=rnorm(n(),x,2))

lmod1 <- lm(y~x,data=dat)
summary(lmod1)
#> 
#> Call:
#> lm(formula = y ~ x, data = dat)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -6.9652 -1.1796 -0.0576  1.2802  6.0212 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)  0.24171    0.20074   1.204    0.229    
#> x            0.97753    0.01802  54.246   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 2.057 on 498 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.8553, Adjusted R-squared:  0.855 
#> F-statistic:  2943 on 1 and 498 DF,  p-value: < 2.2e-16

cor(dat$y,dat$x)
#> [1] 0.9248032

plot(y~x,dat)
abline(0,1)

confint(lmod1)
#>                  2.5 %    97.5 %
#> (Intercept) -0.1526848 0.6361047
#> x            0.9421270 1.0129370

plot(ellipse(lmod1,c("(Intercept)","x")),type="l")
points(coef(lmod1)["(Intercept)"],coef(lmod1)["x"],pch=19)

abline(v=confint(lmod1)["(Intercept)",],lty=2)
abline(h=confint(lmod1)["x",],lty=2)

points(0,1,pch=1,size=3)
#> Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "size" is not a
#> graphical parameter

abline(v=0,lty=10)
abline(h=0,lty=10)

^{Criado em 2019-01-21 pelo pacote reprex (v0.2.1)}

Você pode calcular os coeficientes com n amostras de bootstrap. Provavelmente, isso resultará em valores normais do coeficiente distribuído (teorema do limite central). Com isso, você pode construir um intervalo de confiança (por exemplo, 95%) com valores t (n-1 graus de liberdade) em torno da média. Se o seu IC não incluir 1 (0), é estatisticamente significante diferente ou mais preciso: Você pode rejeitar a hipótese nula de uma inclinação igual.

$\beta_0=0$$\beta_1=1$

Você deve ajustar uma regressão linear e verificar os intervalos de confiança de 95% para os dois parâmetros. Se o IC da inclinação incluir 1 e o IC da compensação incluir 0, o teste de dois lados será insignificante aprox. no nível (95%) ^ 2 - à medida que usamos dois testes separados, o risco tipo I aumenta.

Usando R:

fit = lm(Y ~ X)
confint(fit)

ou você usa

summary(fit)

e calcule os intervalos de 2 sigma sozinho.