Como testar se

Suponha que eu tenha três grupos independentes, com média $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ respectivamente.

Como posso testar se ou não está usando amostras de cada grupo?$\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$$n_1,~n_2,~n_3$

Desejo conhecer alguma metodologia geral, não um cálculo detalhado. Não consegui descobrir como definir minha hipótese e .$H_0$$H_1$

Nas estatísticas, você não pode testar se "X é verdadeiro ou não". Você só pode tentar encontrar evidências de que uma hipótese nula é falsa.

Digamos que sua hipótese nula seja

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Suponhamos também que você tenha uma maneira de estimar o vetor $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . Para manter as coisas, basta supor que você tenha um estimador $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ onde Σ é 3 × 3 da matriz covariada. Podemos reescrever a hipótese nula como A μ < 0 , onde A = [ 1 - 1 0 0 1 - 1 ] .$\Sigma$$3 \times 3$ $$A \mu < 0,$$ $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ Isso mostra que sua hipótese nula pode ser expressa como uma restrição de desigualdade no vetor $A \mu$ . Um estimador natural de $A\mu$ é dado por $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ Agora você pode usar a estrutura para testar restrições de desigualdade em vetores normais, fornecidos em:

Kudo, Akio (1963). "Um análogo multivariado do teste unilateral". In: Biometrika 50.3 / 4, pp. 403-418.

$n_1, n_2, n_3$$\Sigma$

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ $\sigma_k^2$$k = 1, 2, 3$

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ $H_1: A\mu <0$ $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ $H_0$$H_0$$H_0$$\Sigma$

$H_0^2$

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ $\max Ax$

A resposta fornecida por @ andreas-dzemski está correta apenas se soubermos que os dados são normalmente distribuídos.

Se não soubermos a distribuição, acredito que seria melhor executar um teste não paramétrico. Nesse caso, o mais simples parece executar um teste de permutação. Este é um livro sobre o tópico e este é uma boa explicação online. Abaixo, incluo o código R para calcular este teste.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))