Como testar se

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Suponha que eu tenha três grupos independentes, com média μ1, μ2, μ3 respectivamente.

Como posso testar se ou não está usando amostras de cada grupo?μ1<μ2<μ3n1, n2, n3

Desejo conhecer alguma metodologia geral, não um cálculo detalhado. Não consegui descobrir como definir minha hipótese e .H0H1

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Este é um caso de inferência estatística restrita à ordem . Existem livros sobre o assunto .
Kjetil b halvorsen
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Há também o livro antigo de inferência estatística Barlow, Bartholemew, Bremner e Brunk sob restrições de ordem (1973) (embora tenha havido alguns desenvolvimentos desde então); No que diz respeito aos testes não paramétricos, há o teste de Jonckheere-Terpstra (por exemplo, consulte Conover) e um dos testes de correspondência (tente o livro de Neave e Worthington). Você normalmente escreveria uma igualdade nula e uma alternativa ordenada.
Glen_b -Reinstala Monica
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A Q semelhante com resposta
Kjetil b Halvorsen
Aqui deve-se dizer, não que se tem amostras do grupo I , mas que se tem uma amostra de tamanho n i de grupo i .nii,nii.
Michael Hardy

Respostas:

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Nas estatísticas, você não pode testar se "X é verdadeiro ou não". Você só pode tentar encontrar evidências de que uma hipótese nula é falsa.

Digamos que sua hipótese nula seja

H01:μ1<μ2<μ3.
Suponhamos também que você tenha uma maneira de estimar o vetor μ=(μ1,μ2,μ3) . Para manter as coisas, basta supor que você tenha um estimador
xN(μ,Σ),
onde Σ é 3 × 3 da matriz covariada. Podemos reescrever a hipótese nula como A μ < 0 , onde A = [ 1 - 1 0 0 1 - 1 ] .Σ3×3
Aμ<0,
A=[110011].
Isso mostra que sua hipótese nula pode ser expressa como uma restrição de desigualdade no vetor Aμ . Um estimador natural de Aμ é dado por
AxN(Aμ,AΣA).
Agora você pode usar a estrutura para testar restrições de desigualdade em vetores normais, fornecidos em:

Kudo, Akio (1963). "Um análogo multivariado do teste unilateral". In: Biometrika 50.3 / 4, pp. 403-418.

n1,n2,n3Σ

(σ12/n1,σ22/n2,σ32/n3),
σk2k=1,2,3

H12:μ1<μ2<μ3
H02:NOT H1.
H1:Aμ<0
H02:there exists a k=1,2 such that (Aμ)k0.
H0,12:(Aμ)10.
H0,22:(Aμ)20.
H0H0H0Σ

H02

H02:maxk=1,2(Aμ)k0.
maxAx

Andreas Dzemski
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Justo, editei minha resposta.
Andreas Dzemski 12/04/19
xμ^μ
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A resposta fornecida por @ andreas-dzemski está correta apenas se soubermos que os dados são normalmente distribuídos.

Se não soubermos a distribuição, acredito que seria melhor executar um teste não paramétrico. Nesse caso, o mais simples parece executar um teste de permutação. Este é um livro sobre o tópico e este é uma boa explicação online. Abaixo, incluo o código R para calcular este teste.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))
scaramouche
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