Os modelos de MA não invertíveis implicam que o efeito de observações passadas aumenta com a distância?

8

Atualização (25-06-2019): alterar o título de "Os modelos MA não invertíveis fazem sentido?" para distingui-lo da pergunta 333802 .

Ao revisar os modelos MA ( ), me deparei com esses slides (Alonso e Garcia-Martos, 2012). Os autores afirmam que, embora todos os processos de MA sejam estacionários, se não forem invertíveis, você teráq

" a situação paradoxal em que o efeito de observações passadas aumenta com a distância " .

Isso pode ser visto pela decomposição do processo MA (1): em onde claramente traduz em história com mais e mais influência sobre o presente. Duas coisas sobre isso me incomodam:

yt=ϵt-θϵt-1
yt=ϵt-Eu=1t-1θEuyt-Eu-θtϵ0 0,
|θ|>1

  1. Não é difícil imaginar uma situação em que haja um atraso único nos efeitos de algo
  2. Esta publicação validada cruzada tem uma resposta que afirma:

" Invertibilidade não é realmente grande coisa, porque quase qualquer modelo gaussiano de MA (q) não-invertível pode ser alterado para um modelo de MA (q) invertível que representa o mesmo processo "

É verdade que o efeito de observações passadas aumenta com a distância? Se sim, isso torna os modelos impróprios para a descrição de fenômenos do mundo real?

Atualização (2019-11-09) Encontrei isso no texto Análise de séries temporais e suas aplicações (Shumway e Stoffer, página 85), que também suporta o caso de que realmente não importa se um modelo MA é invertível, mas nós convém escolher a versão não invertível do modelo por conveniência. Análise de séries temporais e suas aplicações Página 85

Ben Ogorek
fonte
1
Eu acho que uma distinção entre e | q | > 1 pode ser importante. Seu texto parece focar no último caso, mas a terminologia ( não inversível ) não ajuda a distinguir entre os dois. Se | q | = 1 é grande coisa (não é?) Enquanto | q | > 1 não, a pergunta é difícil de responder quando baseada apenas no termo não-inversível . Talvez você possa editar a postagem para destacar isso? |θ|=1|θ|>1|θ|=1|θ|>1
Richard Hardy
@ Whuber, eu apreciaria outro olhar desde que mudei o título. Espero que, ao focar na propriedade de influência dos pontos de dados históricos, criei um novo espaço.
Ben Ogorek

Respostas:

5

Não é grande coisa - é fortemente estacionário e se aproxima do ruído branco

O processo não reversível de MA(1) faz todo o sentido e não exibe nenhum comportamento particularmente estranho. Tomando a versão gaussiana do processo, para qualquer vector y=(y1,...,yn) consiste em observações consecutivas, temos yN(0 0,Σ) com covariância:

Σσ21+θ2[1+θ2-θ0 00 00 00 0-θ1+θ2-θ0 00 00 00 0-θ1+θ20 00 00 00 00 00 01+θ2-θ0 00 00 00 0-θ1+θ2-θ0 00 00 00 0-θ1+θ2].

Como você pode ver, este é um processo fortemente estacionário e as observações com mais de um atraso são independentes, mesmo quando |θ|>1 . Isso não é surpreendente, tendo em vista o fato de que essas observações não compartilham nenhuma influência do processo de ruído branco subjacente. Não parece haver nenhum comportamento em que "as observações passadas aumentem com a distância", e a equação que você declarou não estabelece isso (veja abaixo para discussão adicional).

De fato, como |θ| (que é o caso mais extremo do fenômeno que você está considerando), o modelo reduz assintoticamente a um processo trivial de ruído branco. Isso é completamente surpreendente, tendo em vista que um grande coeficiente no termo de erro atrasado domina o coeficiente de unidade no termo de erro simultâneo e muda o modelo assintoticamente para a forma ytθϵt-1 , que é apenas uma versão em escala e deslocada do processo de ruído branco subjacente.


Uma observação sobre sua equação: Na equação em sua pergunta, você escreve o valor atual da série temporal observável como uma soma geometricamente crescente de valores passados, além dos termos de erro restantes. Isto é afirmado para mostrar que "o efeito de observações passadas aumenta com a distância". No entanto, a equação envolve um grande número de termos de cancelamento. Para ver isso, vamos expandir os termos observáveis ​​anteriores para mostrar o cancelamento dos termos:

yt=ϵt-Eu=1t-1θEuyt-Eu-θtϵ0 0=ϵt-Eu=1t-1θEu(ϵt-Eu-θϵt-Eu-1)-θtϵ0 0=ϵt-(θϵt-1-θ2ϵt-2)   -(θ2ϵt-2-θ3ϵt-3)-(θ3ϵt-3-θ4ϵt-4)   -    -(θt-1ϵ1-θtϵ0 0).

Podemos ver nessa expansão que a soma geometricamente crescente dos valores passados ​​das séries temporais observáveis ​​existe apenas para obter o termo de erro anterior:

ϵt-1=Eu=1t-1θEu-1yt-Eu+θt-1ϵ0 0.

ϵt-1ϵ0 0

Ben - Restabelecer Monica
fonte
1
Oi Ben: Concordo com o que você fez, mas o motivo da não inveribilidade é que, se você reescrever como um AR (1), a resposta do modelo dependerá mais dos dados que estão mais distantes da resposta em comparação com os dados que são mais perto. Isso não é intuitivo para um AR (1). Mas, em geral, de uma perspectiva prática, eu concordo que a não-invertibilidade da AM não é importante. obrigado.
mlofton
Ben, se você pudesse explicar por que a segunda equação no post original não significa o que eu acho que faz (que a influência de observações passadas na média móvel aumenta ao longo do tempo), ficaria satisfeito com a resposta. Tudo o que você está dizendo faz sentido.
Ben Ogorek
@ Ben Ogorek: eu adicionei uma seção adicional abordando esta equação.
Ben - Reinstale Monica
|θ|=1|θ|>1θ=-1
1
Tudo bem, Ben, estou convencido. Ainda não me sinto 100% ótimo com a explicação do termo de erro anterior, mas percebi que você deve estar certo após tentar algumas simulações simples e não ver nada de estranho na estrutura de dependência. A propósito, a recompensa desapareceu no ar, acho que quando a pergunta foi encerrada por status duplicado, então passei por algumas de suas respostas antigas e a compensei por lá.
Ben Ogorek
5

y1,y2,...,yn. Como tento explicar no post ao qual você vincula, a distribuição conjunta desses dados quase sempre pode (exceto no caso de o polinômio MA ter uma ou mais raízes unitárias) ser identicamente modelados como gerados por um número de variáveis ​​não-invertíveis Modelos MA ou por um modelo MA reversível correspondente. Com base apenas nos dados, não há, portanto, como saber se o mecanismo subjacente do "mundo real" corresponde ao de um modelo não-invertível ou invertível. E os modelos ARIMA não são, de modo algum, pretendidos como modelos mecanicistas do processo de geração de dados.

()

Jarle Tufto
fonte
Entendo o que você está dizendo, pois esses não são modelos estruturais; eles não tentam explicar o mundo de maneira explícita. A frase "faz sentido" também não é muito precisa. Talvez eu pudesse reformular como: "existem processos de MA não invertíveis (no sentido matemático)?" e "se sim, o processo de geração de dados se assemelha a algo encontrado na natureza?" O que me preocupa é que exista uma propriedade artificial, algo semelhante a envelhecer com a idade, encapsulado pela segunda equação acima.
Ben Ogorek
yt=ϵt+3ϵt-1+ϵt-2Mod(polyroot(c(1,3,1)))
yt-Euumabs(θ)> =1yt-Euytyt-Eu. Nos livros que li, eles normalmente dizem que esse tipo de equação não tem significado e é basicamente desconsiderado.
mlofton
umabs(θ)>1.0