Correlações atingíveis para variáveis ​​aleatórias lognormal

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Considere as variáveis ​​aleatórias lognormal e com e .X 2 log ( X 1 ) N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) N ( 0 , σ 2 )X1X2log(X1)N(0,1)log(X2)N(0,σ2)

Estou tentando calcular ρmax e ρmin para ρ(X1,X2) . Um passo na solução fornecida é:

ρmax=ρ(exp(Z),exp(σZ)) e ρmin=ρ(exp(Z),exp(σZ)) ,

mas eles fizeram algumas referências à comonotonicidade e contracomonotonicidade. Eu esperava que alguém me ajudasse a entender como eles são relevantes. (Eu sei como tirar isso da expressão geral, mas quero saber especificamente o que as partes de comonotonicidade estavam dizendo.)

Pk.yd
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8
Quem são eles"?
whuber

Respostas:

25

Começarei fornecendo a definição de comonotonicidade e contramonotonicidade . Depois, mencionarei por que isso é relevante para calcular o coeficiente de correlação mínimo e máximo possível entre duas variáveis ​​aleatórias. E, finalmente, computarei esses limites para as variáveis ​​aleatórias lognormal e .X 2X1X2

Comonotonicidade e contramonotonicidade
As variáveis ​​aleatórias são consideradas comonotônicas se sua cópula é o limite superior de Fréchet , que é a mais forte tipo de dependência "positiva". Pode-se mostrar que são comonotônicos se e somente se onde é uma variável aleatória, estão aumentando as funções e M ( u 1 , , u d ) = min ( u 1 , , u d ) X 1 , , X d ( X 1 , , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , , h d ( Z ) )X1,,Xd M(u1,,ud)=min(u1,,ud)
X1,,XdZ h 1 , , h d d =

(X1,,Xd)=d(h1(Z),,hd(Z)),
Zh1,,hd=ddenota igualdade na distribuição. Portanto, variáveis ​​aleatórias comonotônicas são apenas funções de uma única variável aleatória.

As variáveis ​​aleatórias são consideradas contrmonotônicas se sua cópula for o limite inferior de Fréchet , que é o tipo mais forte de dependência "negativa" no caso bivariado. A contramonotonocidade não generaliza para dimensões mais altas. Pode-se mostrar que são contramonotônicos se e somente se que é uma variável aleatória, e e são respectivamente uma função crescente e uma decrescente, ou vice-versa. W ( u 1 , u 2 ) = máx ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h 2X1,X2 W(u1,u2)=max(0,u1+u21)
X1,X2

(X1,X2)=d(h1(Z),h2(Z)),
Zh1h2

Correlação atingível
Seja e duas variáveis ​​aleatórias com variações estritamente positivas e finitas, e e denotem o coeficiente de correlação possível mínimo e máximo entre e . Então, pode ser mostrado queX1X2ρminρmaxX1X2

  • ρ(X1,X2)=ρmin se e somente se e forem contramonotônicos;X1X2
  • ρ(X1,X2)=ρmax se e somente se e forem comonotônicos.X1X2

Correlação atingível para variáveis ​​aleatórias lognormal
Para obter , usamos o fato de que a correlação máxima é atingida se e somente se e são comonotônicos. As variáveis ​​aleatórias e que são comonotônicas, pois a função exponencial é uma função (estritamente) crescente e, portanto, .ρmaxX1X2X1=eZX2=eσZZN(0,1)ρmax=corr(eZ,eσZ)

Usando as propriedades de variáveis ​​aleatórias lognormal , temos , , , , e a covariância é Assim, E(eZ)=e1/2E(eσZ)=eσ2/2var(eZ)=e(e1)var(eσZ)=eσ2(eσ21)

cov(eZ,eσZ)=E(e(σ+1)Z)E(eσZ)E(eZ)=e(σ+1)2/2e(σ2+1)/2=e(σ2+1)/2(eσ1).
ρmax=e(σ2+1)/2(eσ1)e(e1)eσ2(eσ21)=(eσ1)(e1)(eσ21).

similares com produzem X2=eσZ

ρmin=(eσ1)(e1)(eσ21).

Comentário
Este exemplo mostra que é possível ter um par de variáveis ​​aleatórias fortemente dependentes - a comonotonicidade e a contra-monotonicidade são o tipo mais forte de dependência - mas que têm uma correlação muito baixa. O gráfico a seguir mostra esses limites em função de .σ

insira a descrição da imagem aqui

Este é o código R que usei para produzir o gráfico acima.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)
QuantIbex
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7
(+6) Exposição completa agradável e bem ilustrada. É interessante que as tentativas de confirmar seu gráfico por meio de simulação sejam condenadas quando for muito maior que porque o coeficiente de correlação da amostra é extremamente variável (devido à chance de obter um valor extremamente alto de , que terá alta alavancagem) . Isso coloca um valor mais alto do que o habitual em uma sólida análise teórica. σ3X2
whuber
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Esta exposição é uma adaptação do Exemplo 2.1 (pág. 23) de M. Denuit e J. Dhaene (2003), Caracterizações simples de comonotonicidade e contramonotonicidade por correlações extremais , Belgian Actuarial Bulletin , vol. 3, 22-27.
cardeal
3
@ cardinal Eu não estava ciente deste artigo, obrigado. Outras referências potenciais incluem ebooks.cambridge.org/… ou McNeil, AJ, Frey, R. e Embrechts, P. (2005). Gerenciamento Quantitativo de Riscos: Conceitos, Técnicas e Ferramentas. Princeton: Princeton University Press.
QuantIbex
2
O exemplo remonta a pelo menos RD De Veaux (1976), Limites superior e inferior apertados para correlação de distribuições bivariadas que surgem em modelos de poluição do ar , Tech. Relatório 5, Departamento de Estatística, Universidade de Stanford. Consulte a Seção 3, começando na página 6. As ferramentas subjacentes eram conhecidas por Hoeffding.
cardeal
X1X2(h1(Z),h2(Z))h1,h2X1=eZX1=eσZ