Considere as variáveis aleatórias lognormal e com e .X 2 log ( X 1 ) ∼ N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) ∼ N ( 0 , σ 2 )
Estou tentando calcular e para . Um passo na solução fornecida é:
e ,
mas eles fizeram algumas referências à comonotonicidade e contracomonotonicidade. Eu esperava que alguém me ajudasse a entender como eles são relevantes. (Eu sei como tirar isso da expressão geral, mas quero saber especificamente o que as partes de comonotonicidade estavam dizendo.)
correlation
copula
Pk.yd
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Respostas:
Começarei fornecendo a definição de comonotonicidade e contramonotonicidade . Depois, mencionarei por que isso é relevante para calcular o coeficiente de correlação mínimo e máximo possível entre duas variáveis aleatórias. E, finalmente, computarei esses limites para as variáveis aleatórias lognormal e .X 2X1 X2
Comonotonicidade e contramonotonicidadeX1,…,Xd M(u1,…,ud)=min(u1,…,ud)
X1,…,Xd Z h 1 , … , h d d =
As variáveis aleatórias são consideradas comonotônicas se sua cópula é o limite superior de Fréchet , que é a mais forte tipo de dependência "positiva". Pode-se mostrar que são comonotônicos se e somente se onde é uma variável aleatória, estão aumentando as funções e M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) )
As variáveis aleatórias são consideradas contrmonotônicas se sua cópula for o limite inferior de Fréchet , que é o tipo mais forte de dependência "negativa" no caso bivariado. A contramonotonocidade não generaliza para dimensões mais altas. Pode-se mostrar que são contramonotônicos se e somente se que é uma variável aleatória, e e são respectivamente uma função crescente e uma decrescente, ou vice-versa. W ( u 1 , u 2 ) = máx ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h 2X1,X2 W(u1,u2)=max(0,u1+u2−1)
X1,X2
Correlação atingívelX1 X2 ρmin ρmax X1 X2
Seja e duas variáveis aleatórias com variações estritamente positivas e finitas, e e denotem o coeficiente de correlação possível mínimo e máximo entre e . Então, pode ser mostrado que
Correlação atingível para variáveis aleatórias lognormalρmax X1 X2 X1=eZ X2=eσZ Z∼N(0,1) ρmax=corr(eZ,eσZ)
Para obter , usamos o fato de que a correlação máxima é atingida se e somente se e são comonotônicos. As variáveis aleatórias e que são comonotônicas, pois a função exponencial é uma função (estritamente) crescente e, portanto, .
Usando as propriedades de variáveis aleatórias lognormal , temos , , , , e a covariância é Assim,E(eZ)=e1/2 E(eσZ)=eσ2/2 var(eZ)=e(e−1) var(eσZ)=eσ2(eσ2−1)
similares com produzemX2=e−σZ
Comentárioσ
Este exemplo mostra que é possível ter um par de variáveis aleatórias fortemente dependentes - a comonotonicidade e a contra-monotonicidade são o tipo mais forte de dependência - mas que têm uma correlação muito baixa. O gráfico a seguir mostra esses limites em função de .
Este é o código R que usei para produzir o gráfico acima.
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