O valor de uma função de densidade de probabilidade para uma determinada entrada é um ponto, um intervalo ou ambos?

Este post diz

Um PDF é usado para especificar a probabilidade da variável aleatória cair dentro de um determinado intervalo de valores, em vez de assumir qualquer valor.

É verdade?

este é o PDF da distribuição normal padrão.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

plugar x = 0 na fórmula acima, posso obter a probabilidade de assumir um valor.

Essa postagem significa que o PDF pode ser usado para ponto e intervalo?

distributions terminology yaojp
fonte

Esta resposta do whuber entra em mais detalhes de como interpretar o valor do PDF em um determinado ponto.

COOLSerdash

Bem-vindo ao CV yaojp. Eu suspeito que a notação possa estar desempenhando um papel em sua perplexidade: a função

φ (x)

$\varphi(x)$ é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão, que é explicitamente uma integral de

- \infty

$-\infty$ a

x

$x$ modo que suas probabilidades diferentes de zero devem vir de intervalos .

Alexis #

Você também pode interpretar a densidade da seguinte maneira: por um intervalo muito pequeno ele mantém:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

Sebastian

Respostas:

A citação é verdadeira. Ao conectar à função PDF, você NÃO obtém a probabilidade de receber esse valor específico. O número resultante é a densidade de probabilidade que não é uma probabilidade. A probabilidade de obter exatamente é zero (considere o número infinito de valores com probabilidade semelhante no pequeno intervalo ). $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$

Para se convencer ainda mais de que esse não pode ser uma probabilidade, considere diminuir o desvio padrão de sua distribuição normal de para . Agora, - muito mais que um. Não é uma probabilidade. $\varphi(x)$ $\sigma = 1$ $\sigma = \frac{1}{100}$ $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$

Trisoloriansunscreen
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Obrigado pela sua resposta. Para que serve ? É discreto? Você poderia dar uma notação definida, algo como ?

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$

Yaojp 5/10/19

Desculpe pela notação desleixada. Contínuo, não discreto - todos os números entre 0 e . O ponto é que, se era a probabilidade de obter um valor específico, a probabilidade total desse pequeno intervalo seria infinito.

10^{- 100}

$10^{-100}$

φ (x)

$\varphi(x)$

Trisoloriansunscreen

+1 Bem-vindo ao CV, @Trisoloriansunscreen. Estou divertido com o seu nome, assumindo como eu, que faz referência à trilogia de Cixin Liu?

Alexis #

@Alexis, correct :)

Trisoloriansunscreen

Elaborando um pouco a resposta do Trisoloriansunscreen : é bem verdade que você só tem uma função de densidade de probabilidade . Eu gostaria de fazer uma analogia para você. Imagine que você tem um objeto 3D, diga alguma nave espacial complexa e conhece a densidade de massa em todos os pontos.

Por exemplo, algumas partes da nave espacial podem conter água, que possui uma densidade de massa de . Isso já lhe diz algo sobre a massa de toda a nave espacial? Não, não tem! Precisamente porque você conhece esse valor apenas em um ponto específico. Você não tem informações sobre quanta água existe realmente. Pode ser ou . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Agora, suponha que você saiba a quantidade de água, digamos . Por multiplicação simples , você obtém aproximadamente . Gostaria de enfatizar que você acabou de integrar disfarçado! Considere a seguinte imagem: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

A massa que você calculou é apenas a área retangular sombreada a verde. Isso só era possível como uma multiplicação simples, porque a densidade de massa era constante para a quantidade de água considerada e, portanto, produzia uma área retangular.

E se você tivesse formas misturadas de água, por exemplo, algumas gasosas, outras líquidas, outras em temperaturas variadas e assim por diante? Pode ficar assim:

Agora, para calcular a massa, você precisaria integrar essa função de densidade de massa sobre a quantidade de água. Você vê as funções paralelas à densidade de probabilidade agora? Para obter uma probabilidade real (cf. massa), você precisa integrar a densidade de probabilidade (cf. densidade de massa) em algum domínio.

ComFreek
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@ Downowner: Você poderia incluir comentários construtivos em um comentário? :)

ComFreek