Localizando a distribuição de uma estatística

Estudando para um teste. Não foi possível responder a este.

Seja sejam iid variáveis ​​aleatórias. Definir$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

e ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Qual é a distribuição de , ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Como faço para ter uma idéia do melhor método a ser usado ao iniciar um problema como este?

É um truque.

Condicionalmente em , temos que é igual a Isso decorre do fato de que, para fixo, é uma transformação linear simples das duas variáveis independentes de e . Donde, tem uma distribuição normal. A média condicional é vista como 0 e a variação condicional é (pelas suposições de independência) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Como a distribuição condicional de não depende de , concluímos que também é sua distribuição marginal, ou seja,$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

O restante decorre dos resultados padrão sobre médias e resíduos para variáveis ​​aleatórias normais independentes. O teorema de Basu não é necessário para nada.