Combinando duas matrizes de covariância

Estou calculando a covariância de uma distribuição em paralelo e preciso combinar os resultados distribuídos no Gaussiano singular. Como faço para combinar os dois?

A interpolação linear entre os dois quase funciona, se eles são distribuídos e dimensionados de maneira semelhante.

A Wikipedia fornece um forumla na parte inferior para combinação, mas não parece certo; duas distribuições identicamente distribuídas devem ter a mesma covariância, mas a fórmula na parte inferior da página dobra a covariância.

Existe uma maneira de combinar duas matrizes?

Esta questão surge muito de várias formas. O que é comum a eles é

Como posso combinar estatísticas baseadas no momento que foram computadas a partir de subconjuntos disjuntos dos meus dados?

A aplicação mais simples refere-se a dados que foram divididos em dois grupos. Você sabe o tamanho do grupo e o meio do grupo. Somente em termos dessas quatro quantidades, qual é a média geral dos dados?

Outras aplicações generalizam de médias a variações, desvios padrão, matrizes de covariância, assimetria e estatística multivariada; e pode envolver vários subgrupos de dados. Observe que muitas dessas quantidades são combinações um pouco complicadas de momentos: o desvio padrão, por exemplo, é a raiz quadrada de uma combinação quadrática do primeiro e do segundo momento (quadrado médio e quadrado médio).

Todos esses casos são facilmente tratados, reduzindo os vários momentos a somas, porque as somas são óbvia e facilmente combinadas: elas são adicionadas. Matematicamente, tudo se resume a isso: você tem um lote de dados que foram separados em grupos separados de tamanhos j 1 , j 2 , … , j g : ( x 1 , x 2 , … , x j 1$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$$j_1, j_2, \ldots, j_g$ . Vamos chamar o i- ésimo grupo X ( i ) = ( x j i + 1 , x j i + 2 , … , x j $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$$i$. Por definição, ok-ésimomomentode qualquer lote de dadosy1,…,yjé a média dask-potências,$X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$$k$$y_1, \ldots, y_j$$k$

$$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$$

Obviamente é a soma das k- ésimas potências. Portanto, referindo-se à nossa decomposição anterior de dados em subgrupos g , podemos dividir uma soma de n poderes em grupos de somas, obtendo$j \mu_k(y)$$k$$g$$n$

$$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$$

Dividir por exibe o k- ésimo momento de todo o lote em termos dos k- ésimos momentos de seus subgrupos.$n$$k$$k$

No presente pedido, as entradas na matriz de covariância são, obviamente, covariâncias, que são expressáveis ​​em termos de segundos momentos e primeiros momentos multivariados. A parte principal do cálculo se resume a isso: a cada etapa, você se concentrará em dois componentes específicos dos seus dados multivariados; vamos chamá-los de e y . Os números que você está vendo estão no formato$x$$y$

$$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$$

$g$$x_iy_i$$(1,1)$$\mu_{(1,1)}$$n$

$n-1$$n$$n-1$$j_i-1$$n$$j_i$

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$n$