Li no meu livro que não garante que X e Y sejam independentes. Mas se são independentes, sua covariância deve ser 0. Ainda não consegui pensar em nenhum exemplo adequado; alguém poderia fornecer um?
independence
covariance
Porco voador
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Respostas:
Exemplo fácil: Seja uma variável aleatória que seja - 1 ou + 1 com probabilidade 0,5. Então seja Y uma variável aleatória tal que Y = 0 se X = - 1 , e Y for aleatoriamente - 1 ou + 1 com probabilidade 0,5 se X = 1 .X - 1 + 1 Y Y= 0 X= - 1 Y −1 +1 X=1
Claramente e Y são altamente dependentes (já que conhecer Y me permite conhecer perfeitamente X ), mas sua covariância é zero: ambos têm média zero eX Y Y X
Ou, de maneira mais geral, considere qualquer distribuição e P ( Y | X ), de modo que P ( Y = a | X ) = P ( Y = - a | X ) para todo X (ou seja, uma distribuição conjunta que seja simétrica em torno do eixo x ) e você sempre terá covariância zero. Mas você não terá independência sempre que P ( Y | X ) ≠ P (P(X) P(Y|X) P(Y=a|X)=P(Y=−a|X) X x ; isto é, os condicionais não são todos iguais ao marginal. Ou o mesmo para simetria em torno doeixo y .P(Y|X)≠P(Y) y
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Aqui está o exemplo que sempre dou aos alunos. Pegue uma variável aleatória com E X = 0 e E X 3 = 0 , por exemplo, variável aleatória normal com média zero. Tome Y = X 2 . É claro que X e Y estão relacionados, masX EX=0 EX3=0 Y=X2 X Y
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A imagem abaixo (fonte Wikipedia ) possui vários exemplos na terceira linha, em particular o primeiro e o quarto exemplos têm uma forte relação dependente, mas 0 correlação (e 0 covariância).
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Alguns outros exemplos, considere pontos de dados que formam um círculo ou elipse, a covariância é 0, mas sabendo que x você reduz y a 2 valores. Ou dados em um quadrado ou retângulo. Os dados que formam um X ou V ou ^ ou <ou> também fornecerão covariância 0, mas não são independentes. Se y = sin (x) (ou cos) ex cobre um múltiplo inteiro de períodos, cov será igual a 0, mas sabendo que x você conhece y ou pelo menos | y | na elipse, x, <e> casos.
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