Por que controlar o FDR é menos rigoroso do que controlar o FWER?

Eu li que controlar o FDR é menos rigoroso do que controlar o FWER, como na Wikipedia :

Os procedimentos de controle de FDR exercem um controle menos rigoroso sobre a descoberta falsa em comparação com os procedimentos da taxa de erro familiar (FWER) (como a correção de Bonferroni). Isso aumenta o poder ao custo de aumentar a taxa de erros do tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula de nenhum efeito quando deve ser aceita.

Mas eu queria saber como isso é mostrado matematicamente?

Existe alguma relação entre FDR e FWER?

De fato, @cardinal está certo de que o artigo é o mais claro possível. Então, pelo que vale a pena, caso você não tenha acesso ao artigo, aqui está uma versão um pouco elaborada de como Benjamini – Hochberg argumenta:

O FDR é o valor esperado da proporção de falsas rejeições v para todas as rejeições r . Agora, r é, obviamente, a soma de rejeições falsas e corretas; chame o último s .$Q_e$$v$$r$$r$$s$

Em resumo, (usando letras maiúsculas para variáveis ​​aleatórias e letras minúsculas para valores realizados),

Toma-se se R = 0 .$Q=0$$R=0$

Agora, existem duas possibilidades: ou todos os nulos são verdadeiros ou apenas m 0 < m deles são verdadeiros. No primeiro caso, não pode haver rejeições corretas, portanto r = v . Assim, se houver alguma rejeição ( r ≥ 1 ), q = 1 , caso contrário, q = 0 . Conseqüentemente,$m$$m_0<m$$r=v$$r\geq 1$$q=1$$q=0$

Portanto, neste caso, de modo que qualquer procedimento que controla o F D R trivialmente também controla o F W E R e vice-versa.$\FDR=\FWER$$\FDR$$\FWER$

No segundo caso em que , se v > 0 (portanto, se houver pelo menos uma rejeição falsa), obviamente temos (sendo esta uma fração com também v no denominador) que v / r ≤ 1 . Isto implica que a função de indicador que assume o valor 1 se houver pelo menos uma falsa rejeição, 1 V ≥ 1 nunca será inferior a Q , 1 V ≥ 1 ≥ Q . Agora, tenha expectativa de ambos os lados da desigualdade, que pela monotonicidade de $m_0<m$$v>0$$v$$v/r\leq 1$$\mathbf 1_{V\geq 1}$$Q$$\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$$E$ deixa a desigualdade intacta,

O valor esperado de uma função indicadora é a probabilidade do evento no indicador, temos , que mais uma vez é o F W E R .$E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$$\FWER$

Assim, quando temos um procedimento que controla no sentido de F W E R ≤ α , devemos ter esse F D R ≤ α .$\FWER$$\FWER\leq \alpha$$\FDR\leq\alpha$

Por outro lado, tendo controlo em algum α pode vir com um substancialmente maior F W E R . Intuitivamente, aceitar uma fração esperada diferente de zero de rejeições falsas ( F D R ) de um total potencialmente grande de hipóteses testadas pode implicar uma probabilidade muito alta de pelo menos uma rejeição falsa ( F W E R ).$\FDR$$\alpha$$\FWER$$\FDR$$\FWER$

Portanto, um procedimento deve ser menos rigoroso quando apenas o controle é desejado, o que também é bom para energia. É a mesma idéia que em qualquer teste de hipótese básica: quando você testa no nível de 5%, rejeita com mais frequência (nulos corretos e falsos) do que quando testa no nível de 1% simplesmente porque possui um valor crítico menor.$\FDR$