Viés dos estimadores de máxima verossimilhança para regressão logística

Gostaria de entender alguns fatos sobre os estimadores de máxima verossimilhança (MLEs) para regressões logísticas.

É verdade que, em geral, o MLE para regressão logística é tendencioso? Eu diria "sim". Eu sei, por exemplo, que a dimensão da amostra está relacionada ao viés assintótico dos MLEs.

Você conhece algum exemplo elementar desse fenômeno?
Se o MLE é tendencioso, é verdade que a matriz de covariância dos MLE é o inverso do Hessiano da função de máxima verossimilhança?

edit : Encontrei essa fórmula com bastante frequência e sem nenhuma prova; parece uma escolha bastante arbitrária para mim.

logistic maximum-likelihood unbiased-estimator bias Avitus
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Considere o modelo de regressão logística binária simples, com uma variável dependente binária e apenas uma constante e um regressor binário . que é o cdf logístico, . $T$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1) = Λ (α + β T_{i})

$\Pr(Y_i=1\mid T_i=1) = \Lambda (\alpha + \beta T_i)$

Λ

$\Lambda$

Λ (u) = {[1 + \exp {- u}]}^{- 1}

$\Lambda(u) = \left[1+\exp\{-u\}\right]^{-1}$

No formato logit, temos

\ln (\frac{Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}{1 - Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}) = α + β T_{i}

$\ln \left(\frac{\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}{1-\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}\right) = \alpha + \beta T_i$

Você tem uma amostra do tamanho . Denotam o número de observações onde e aqueles onde , e . Considere as seguintes probabilidades condicionais estimadas: $n$ $n_1$ $T_i=1$ $n_0$ $T_i=0$ $n_1+n_0=n$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 1) \equiv {\hat{P}}_{1 | 1} = \frac{1}{n_{1}} \sum_{T_{i} = 1} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=1)\equiv \hat P_{1|1} = \frac 1{n_1}\sum_{T_i=1}y_i$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 0) \equiv {\hat{P}}_{1 | 0} = \frac{1}{n_{0}} \sum_{T_{i} = 0} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=0)\equiv \hat P_{1|0} = \frac 1{n_0}\sum_{T_i=0}y_i$

Então este modelo muito básico fornece soluções de formulário fechado para o estimador de ML:

\hat{α} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}}), \hat{β} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 1}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 1}}) - \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})

$\hat \alpha = \ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right),\qquad \hat \beta = \ln\left(\frac{\hat P_{1|1}}{1-\hat P_{1|1}}\right)-\ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)$

VIÉS

Embora e sejam estimadores imparciais das probabilidades correspondentes, os MLEs são tendenciosos, pois a função logarítmica não linear fica no caminho - imagine o que acontece com modelos mais complicados , com um maior grau de não linearidade. $\hat P_{1|1}$ $\hat P_{1|0}$

Mas, assintoticamente, o viés desaparece, pois as estimativas de probabilidade são consistentes. Inserindo diretamente o operador dentro do valor esperado e do logaritmo, temos $\lim$

lim_{n \to \infty} E [\hat{α}] = E [\ln (lim_{n \to \infty} \frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})] = E [\ln (\frac{P_{1 | 0}}{1 - P_{1 | 0}})] = α

$\lim_{n\rightarrow \infty}E[\hat \alpha] = E\left[\ln\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)\right] = E\left[\ln\left(\frac{P_{1|0}}{1-P_{1|0}}\right)\right] =\alpha$

e da mesma forma para . $\beta$

MATRIZ VARIANCE-COVARIANCE OF MLE
No caso simples acima, que fornece expressões de forma fechada para o estimador, poderia-se, pelo menos em princípio, derivar sua distribuição exata de amostras finitas e depois calcular sua matriz exata de variância-covariância de amostras finitas . Mas, em geral, o MLE não possui uma solução de formulário fechado. Em seguida, recorremos a uma estimativa consistente da matriz de variância-covariância assintótica, que é de fato (o negativo) o inverso do Hessian da função log-verossimilhança da amostra, avaliada no MLE. E não há "escolha arbitrária" aqui, mas resulta da teoria assintótica e das propriedades assintóticas do MLE (consistência e normalidade assintótica), que nos dizem que, para , $\theta_0 = (\alpha, \beta)$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to_{d} N (0, - (E [H])^{- 1})

${\sqrt n}(\hat \theta-\theta_0)\rightarrow_d N\left(0, -(E[H])^{-1}\right)$

onde é o hessiano. Aproximadamente e para (grandes) amostras finitas, isso nos leva a $H$

Var (\hat{θ}) \approx - \frac{1}{n} (E [H])^{- 1} \approx - \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \hat{H})}^{- 1} = - {\hat{H}}^{- 1}

$\operatorname{Var}(\hat \theta) \approx -\frac 1n(E[H])^{-1}\approx -\frac 1n\left(\frac 1n\hat H\right)^{-1}=-\hat H^{-1}$

Alecos Papadopoulos
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