Encontrar a variância do estimador para a máxima probabilidade para a distribuição de Poisson

Se são distribuições de Poisson iid com o parâmetro que a estimativa de probabilidade máxima é para dados . Portanto, podemos definir o estimador correspondente Minha pergunta é como você descobriria a variação desse estimador?$K_1, \dots, K_n$$\beta$

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

Em particular, como cada segue uma distribuição Poisson com o parâmetro eu sei, pelas propriedades do Poisson, que a distribuição seguirá uma distribuição Poisson com o parâmetro , mas o que é a distribuição de ?$K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$ é distribuído ... como uma variável de Poisson escalada por . Portanto, a variação de é .$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

Lembre-se de que sempre. Mas, se os são independentes, qual é o valor de ? É tudo o que você precisa para responder à pergunta.

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$