Eu me pergunto qual é a diferença entre a distribuição normal padrão multivariada e a cópula gaussiana, pois, quando olho para a função de densidade, elas parecem iguais para mim.
Minha questão é por que a cópula gaussiana é introduzida ou que benefício a cópula gaussiana gera ou qual é sua superioridade quando a cópula gaussiana não passa de uma função normal padrão multivariada.
Além disso, qual é o conceito por trás da transformação integral de probabilidade em cópula? Quero dizer, sabemos que uma cópula é uma função com variável uniforme. Por que tem que ser uniforme? Por que não usar os dados reais como distribuição normal multivariada e encontrar a matriz de correlação? (Normalmente, plotamos os dois retornos de ativos para considerar seus relacionamentos, mas quando é cópula, plotamos os EUA, que são probabilidades.)
Outra pergunta. Também duvido que a matriz de correlação do MVN possa ser não paramétrica ou semi-paramétrica como a da cópula (pois o parâmetro copula pode ser a tau de Kendall, etc.)
Ficaria muito grato por sua ajuda, pois sou novo nesta área. (mas eu li muitos artigos e essas são as únicas coisas que eu não entendo)
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Respostas:
Uma regra geral sobre documentos técnicos - especialmente os encontrados na Web - é que a confiabilidade de qualquer definição estatística ou matemática oferecida neles varia inversamente com o número de assuntos não estatísticos não relacionados mencionados no título do artigo. O título da página na primeira referência oferecida (em um comentário à pergunta) é "Das finanças à cosmologia: a cópula da estrutura em larga escala". Com "finanças" e "cosmologia" aparecendo com destaque, podemos ter certeza de que essa não é uma boa fonte de informações sobre cópulas!
Em vez disso, passemos a um livro-texto padrão e muito acessível, Uma introdução às cópulas ( Roger Edition, Second Edition, 2006), para as principais definições.
[Na p. 23, embaixo.]
Para obter algumas dicas sobre cópulas, consulte o primeiro teorema do livro, o Teorema de Sklar :
[Apresentado nas páginas 18 e 21.]
Embora Nelsen não o chame como tal, ele define a cópula gaussiana em um exemplo:
[na p. 23, equação 2.3.6]. A partir da notação, é imediato que este seja de fato a distribuição conjunta de ( u , v ) quando ( Φ - 1 ( u ) , Φ - 1 ( v ) ) é bivariada Normal. Podemos agora virar-se e construir uma nova distribuição bivariável ter quaisquer distribuições marginais (contínua) desejados F e G para as quais esta C é a cópula, meramente por substituição destas ocorrências de Φ por F eC (u,v) (Φ−1(u),Φ−1(v)) F G C Φ F : tomeeste C particularna caracterização das cópulas acima.G C
Portanto, sim, isso se parece muito com as fórmulas para uma distribuição normal bivariada, porque é normal bivariada para as variáveis transformadas . Como essas transformações não são lineares sempre que F e G ainda não são CDFs normais (univariados), a distribuição resultante não é (nesses casos) normal bivariada.(Φ−1(F(x)),Φ−1(G(y))) F G
Exemplo
A falta de simetria a torna obviamente fora do normal (e sem margens normais), mas, no entanto, possui uma cópula gaussiana por construção. FWIW tem uma fórmula e é feia, obviamente também não é bivariada Normal:
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