Pergunta sobre ponderação de variância inversa

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Suponha que nós queremos fazer inferência sobre uma realização unobserved x de uma variável aleatória x~ , que é normalmente distribuído com média μx e variância σx2 . Suponhamos que há uma outra variável aleatória y~ (cuja realização não observada vamos chamar semelhante y ) que é normalmente distribuída com média μy e variância σy2 . Seja σxy a covariância de x~ e y~ .

Suponha agora que observamos um sinal em x ,

a=x+u~,
onde u~N(0,ϕx2) e um sinal em y ,
b=y+v~,
onde v~N(0,ϕy2) . Suponha que u~ e v~ são independentes.

Qual é a distribuição de condicional em um e b ?xab

O que sei até agora: usando ponderação de variância inversa, e Var(x

E(x|a)=1σx2μx+1ϕx2a1σx2+1ϕx2,
Var(x|a)=11σx2+1ϕx2.

Como e y são desenhados em conjunto, b deve conter algumas informações sobre x . Além de perceber isso, estou preso. Qualquer ajuda é apreciada!xybx

bad_at_math
fonte
Isso se parece exatamente com os primeiros passos na derivação de um filtro Kalman. Você pode observar a derivação e pensar no ganho de Kalman para a atualização da estimativa de covariância do estado. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf
EngrStudent
Obrigado pela resposta! Eu li o documento no seu link, mas não vejo a conexão com a filtragem do Kalman. Alguma chance de você elaborar? Agradeço a ajuda!
27513
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@EngrStudent Se o OP não estiver familiarizado com o filtro Kalman, não vejo como isso será de grande ajuda. Talvez você possa explicar como abordar o problema sem invocar nenhuma das especificidades (ou o jargão) envolvidas com o KF, embora talvez utilize seu entendimento para orientar uma resposta sobre os detalhes aqui.
Glen_b -Reinstar Monica
Cross-postado em math.SE aqui
Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

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Não tenho certeza se as fórmulas de ponderação de variação inversa se aplicam aqui. No entanto eu acho que você pode calcular a distribuição condicional de dadas a e b , assumindo que x , y , um e b seguem uma distribuição normal multivariada conjunta.xabxyab

Especificamente, se você assumir (a compatibilidade com o especificado na pergunta) que + u e b = y + v , você pode achar que , em seguida, deixandoum=x

[xyuv]N([μxμy00],[σx2σxy00σxyσy20000ϕx20000ϕy2])
a=x+ub=y+v (Observe que, acima, é assumido implicitamente queuevsão independentes entre si e também comxey.)
[xab]N([μxμxμy],[σx2σx2σxyσx2σx2+ϕx2σxyσxyσxyσy2+ϕy2]).
uvxy

A partir desta você pode encontrar a distribuição condicional de dadas a e b usando as propriedades padrão da distribuição normal multivariada (ver aqui, por exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ).xab

a.arfe
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