Pergunta sobre ponderação de variância inversa

Suponha que nós queremos fazer inferência sobre uma realização unobserved $x$ de uma variável aleatória $\tilde x$ , que é normalmente distribuído com média $\mu_x$ e variância $\sigma^2_x$ . Suponhamos que há uma outra variável aleatória $\tilde y$ (cuja realização não observada vamos chamar semelhante $y$ ) que é normalmente distribuída com média $\mu_y$ e variância $\sigma^2_y$ . Seja $\sigma_{xy}$ a covariância de $\tilde x$ e $\tilde y$ .

Suponha agora que observamos um sinal em $x$ ,

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$ onde

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ e um sinal em

y

$y$ ,

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$ onde

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ . Suponha que

\tilde{u}

$\tilde u$ e

\tilde{v}

$\tilde v$ são independentes.

Qual é a distribuição de condicional em e ? $x$ $a$ $b$

O que sei até agora: usando ponderação de variância inversa, e

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Como e são desenhados em conjunto, deve conter algumas informações sobre . Além de perceber isso, estou preso. Qualquer ajuda é apreciada! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis bad_at_math
fonte

Isso se parece exatamente com os primeiros passos na derivação de um filtro Kalman. Você pode observar a derivação e pensar no ganho de Kalman para a atualização da estimativa de covariância do estado. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

Obrigado pela resposta! Eu li o documento no seu link, mas não vejo a conexão com a filtragem do Kalman. Alguma chance de você elaborar? Agradeço a ajuda!

27513

@EngrStudent Se o OP não estiver familiarizado com o filtro Kalman, não vejo como isso será de grande ajuda. Talvez você possa explicar como abordar o problema sem invocar nenhuma das especificidades (ou o jargão) envolvidas com o KF, embora talvez utilize seu entendimento para orientar uma resposta sobre os detalhes aqui.

Glen_b -Reinstar Monica

Cross-postado em math.SE aqui

Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

Não tenho certeza se as fórmulas de ponderação de variação inversa se aplicam aqui. No entanto eu acho que você pode calcular a distribuição condicional de dadas e , assumindo que , , e seguem uma distribuição normal multivariada conjunta. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

Especificamente, se você assumir (a compatibilidade com o especificado na pergunta) que e , você pode achar que , em seguida, deixando

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

(Observe que, acima, é assumido implicitamente que

são independentes entre si e também com

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

A partir desta você pode encontrar a distribuição condicional de dadas e usando as propriedades padrão da distribuição normal multivariada (ver aqui, por exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ). $x$ $a$ $b$

a.arfe
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