Intervalo de confiança para o produto de dois parâmetros

Você pode usar o método Delta para calcular o erro padrão de $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ . O método delta indica que uma aproximação da variação de uma função $g(t)$ é dada por:

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$ A aproximação da expectativa de

g (t)

$g(t)$ por outro lado, é dada por:

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$ Portanto, a expectativa é simplesmente a função. Sua função

g (t)

$g(t)$ é:

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ . A expectativa de

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ seria simplesmente:

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Para a variância, precisamos das derivadas parciais de

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$ :

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Usando a função para a variação acima, obtemos:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ O erro padrão seria simplesmente a raiz quadrada da expressão acima. Depois de obter o erro padrão, é fácil calcular um intervalo de confiança de 95% para :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Para calcular o erro padrão de , você precisa da variação de e que você normalmente pode obter pela matriz de variância-covariância que seria uma matriz 2x2 no seu caso, porque você tem duas estimativas. Os elementos diagonais na matriz de variância-covariância são as variações de e enquanto os elementos fora da diagonal são a covariância de e (a matriz é simétrica). Como @gung menciona nos comentários, a matriz de variância-covariância pode ser extraída pela maioria dos softwares estatísticos. Às vezes, algoritmos de estimativa fornecem o $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Matriz hessiana (não entrarei em detalhes sobre isso aqui), e a matriz variância-covariância pode ser estimada pelo inverso do hessiano negativo (mas apenas se você maximizou a probabilidade logarítmica!; Veja este post ). Novamente, consulte a documentação do seu software estatístico e / ou da web sobre como extrair o Hessian e sobre como calcular o inverso de uma matriz.

Como alternativa, você pode obter as variações de e nos intervalos de confiança da seguinte maneira (isso é válido para um IC de 95%): . Para um -CI, o erro padrão estimado é: , em que é o quantil da distribuição normal padrão (para , ). Então, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . O mesmo vale para a variação de . Precisamos covariância de e (veja o parágrafo acima). Se e são independentes, a covariância é zero e podemos abandonar o termo. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Este documento pode fornecer informações adicionais.

COOLSerdash
fonte

+1. As variações dos parâmetros e sua covariância podem ser encontradas examinando a matriz de variância-covariância de , que a maioria dos softwares estatísticos pode fornecer. Por exemplo, em R, é ? Vcov ; & no SAS, é adicionado como uma opção à instrução de modelo no PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

gung - Restabelece Monica

@gung Em um ponto da pediatria, pode valer a pena ressaltar (porque eu sei que confunde algumas pessoas) que é realmente a matriz de variância-covariância de vez de (e, na verdade, nem é exatamente isso , porque o desvio padrão tem que ser estimada a partir da amostra, por isso é realmente o estimado matriz de variância-covariância ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

Silverfish

@Silverfish, devidamente castigado. Da próxima vez, direi "a matriz estimada de variância-covariância de ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

gung - Restabelece Monica

Você pode tentar construir uma função de probabilidade do perfil! e construa o intervalo de confiança a partir disso.

Kjetil b halvorsen

Não é pois é um parâmetro?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

usar o seguinte comando

Encontrei uma equação diferente para o cálculo da variância do produto.

Se x e y são distribuídos independentemente, a variação do produto é relativamente direta: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Esses resultados também generalizam para casos envolvendo três ou mais variáveis (Goodman 1960). Fonte: Regulamentação de pesticidas (1980), apêndice F

Coolserdash: O último componente V (x) * V (y) está ausente na sua equação. O livro mencionado (Regulamentação de pesticidas) está errado?

Além disso, ambas as equações podem não ser perfeitas. " ... mostramos que a distribuição do produto de três variáveis normais independentes não é normal ." ( fonte ). Eu esperaria alguma inclinação positiva, mesmo no produto de duas variáveis normalmente distribuídas.

Marek Čierny
fonte

Intervalo de confiança para o produto de dois parâmetros

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