Definição do tempo de autocorrelação (para tamanho efetivo da amostra)

Encontrei duas definições na literatura para o tempo de autocorrelação de uma série temporal fracamente estacionária:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

onde $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$ é a autocorrelação no atraso$k$.

Uma aplicação do tempo de autocorrelação é encontrar o "tamanho efetivo da amostra": se você possui observações de uma série temporal e conhece o tempo de autocorrelação $n$$\tau$ , pode fingir que possui

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

amostras independentes em vez de amostras correlacionadas com o objetivo de encontrar a média. A estimativa de τ a partir dos dados não é trivial, mas existem algumas maneiras de fazê-lo (consulte$n$$\tau$ Thompson 2010 ).

A definição sem valores absolutos, , parece mais comum na literatura; mas admite a possibilidade de τ a < 1 . Usando R e o pacote "coda":$\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

A função "effectiveSize" em "coda" usa uma definição do tempo de autocorrelação equivalente a $\tau_a$ , acima. Existem alguns outros pacotes R por aí que calculam o tamanho efetivo da amostra ou o tempo de autocorrelação, e todos os que tentei fornecem resultados consistentes com isso: que um processo AR (1) com um coeficiente de AR negativo tem amostras mais eficazes do que as correlacionadas séries temporais. Isso parece estranho.

Obviamente, isso nunca pode acontecer no $\tau_b$ definição de tempo de autocorrelação.

Qual é a definição correta de tempo de autocorrelação? Existe algo errado com minha compreensão dos tamanhos efetivos das amostras? O resultado mostrado acima parece estar errado ... o que está acontecendo?$n_\text{eff} > n$

Primeiro, a definição apropriada de "tamanho efetivo da amostra" está ligada à OMI a uma questão bastante específica. Se são identicamente distribuído com média μ e variância 1 a média empírica μ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$ é um estimador imparcial deμ. Mas e a sua variação? Paravariáveisindependentes, a variação én-1. Para uma série de tempo fracamente estacionário, a variância da μ é

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$ amostras independentes. portanto$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$é uma definição apropriada se pedirmos a variação da média empírica. Pode ser inadequado para outros fins.

Com uma correlação negativa entre as observações, é certamente possível que a variação possa se tornar menor do que $n^{-1}$ ($n_{\text{eff}} > n$) Esta é uma técnica bem conhecida de redução de variância na integração Monto Carlo: Se introduzirmos correlação negativa entre as variáveis ​​em vez da correlação 0, podemos reduzir a variância sem aumentar o tamanho da amostra.

veja http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

e

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

para tamanho efetivo da amostra. Penso que a formulação alternativa usando a razão de variação da amostra e variação assintótica da cadeia de Markov via média do lote é um estimador mais apropriado.