Confusão relacionada à distribuição preditiva de processos gaussianos

Eu tenho essa confusão relacionada à distribuição preditiva do processo gaussiano. Eu estava lendo este artigo

Não entendi como a integração deu esse resultado. O que é P (u * | x ​​*, u). Também como é que a covariância da distribuição posterior é$\sigma^2(\sigma^2I+K)^{-1}K$

, σ 2 ), diretamente da definição de u ∗ .$P(u*|x*,u) ~ N(u(x*)$$\sigma^2$$u*$

Observe que a integração de dois pdf gaussianos é normalizada. Pode demonstrar-se a partir do facto de que

$$\int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^* =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)dudu^* =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^*du =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*-u(x*); 0, \sigma^2)du^*du =\int_{u}P(u|s)du\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*; 0, \sigma^2)du^* =1$$

Com a normalização fora do caminho,

é integrado pelos seguintes dicas: $\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)du$

1. Substitua o 2 pdf normal na equação e elimine os termos independentemente de , como já mostramos a normalização.$u$

2. Usando o truque de completar o quadrado para integrar exponencial multivariada, ou seja, construa um pdf normal multivariado com os termos exponenciais restantes. Consulte este vídeo do youTube .

3. $u^*$

As derivações detalhadas das equações para a distribuição condicional de um processo gaussiano podem ser encontradas no capítulo 2 e no apêndice A do livro [Rasmussen2005].

Veja (Eq. 2.23, 2.24) e acima, as quais são baseadas nas identidades gaussianas (A.6) e na propriedade da matriz (A.11).

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[Rasmussen2005] CE Rasmussen e C. Williams. Processos gaussianos para aprendizado de máquina . MIT Press, 2005.