Correlações atingíveis para variáveis ​​aleatórias exponenciais

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Qual é o intervalo de correlações atingíveis para o par de variáveis ​​aleatórias distribuídas exponencialmente e X 2E x p ( λ 2 ) , onde λ 1 , λ 2 > 0 são os parâmetros de taxa?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0

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Respostas:

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Seja (resp. Ρ max ) denotar o limite inferior (resp. Superior) da correlação atingível entre X 1 e X 2 . Os limites ρ min e ρ max são atingidos quando X 1 e X 2 são respectivamente contramonotônicos e comonotônicos (veja aqui ).ρminρmaxX1X2ρminρmaxX1X2

Limite inferior
Para determinar o limite inferior , construímos um par de variáveis ​​exponenciais contramonotônicas e calculamos sua correlação.ρmin

A condição necessária e suficiente mencionada aqui e a transformação integral de probabilidade fornecem uma maneira conveniente de construir as variáveis ​​aleatórias e X 2, de modo que elas sejam contramonotônicas. Lembre-se de que a função de distribuição exponencial é F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) , portanto, a função quantil é F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 -X1X2
F(x)=1exp(λx) .F1(q)=λ1log(1q)

Seja uma variável aleatória uniformemente distribuída, então 1 - U também é uniformemente distribuída e as variáveis ​​aleatórias X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) ,UU(0,1)1U têm a distribuição exponencial com as taxas λ 1 e λ 2 respectivamente. Além disso, são contramonotônicos, já que X 1 = h 1 ( U ) e X 2 = h 2 ( U ) e as funções h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log (

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U) e h 2 ( x ) = - λ - 1 1 log ( x ) estão respectivamente aumentando e diminuindo.h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Agora, vamos calcular a correlação de e X 2 . Pelas propriedades da distribuição exponencial, temos E ( X 1 ) = λ - 1 1 , E ( X 2 ) = λ - 1 2 , v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 e v a r ( X 2 ) = λ - 2X1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12 . Além disso, temos E ( X 1 X 2 )var(X2)=λ22 ondefU(u)1é a função de densidade da distribuição uniforme padrão. Para a última igualdade,conteicom oWolframAlpha.

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1

Assim,

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2


ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2
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ρmax=1X1X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
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1λ1λ2