Autocovariância de um processo ARMA (2,1) - derivação do modelo analítico para

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Preciso derivar expressões analíticas para a função de autocovariância γ(k) de um processo ARMA (2,1) indicado por:

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

Então, eu sei que:

γ(k)=E[yt,ytk]

para que eu possa escrever:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

então, para derivar a versão analítica da função de autocovariância, preciso substituir valores de - 0, 1, 2 ... até obter uma recursão válida para todos os k maiores que algum número inteiro.kk

Portanto, substituo e resolvo isso para obter:k=0

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

agora eu posso simplificar os dois primeiros termos e substituir como antes:yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

então multiplico os oito termos, que são:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

Portanto, estou precisando resolver os quatro termos restantes. Quero usar a mesma lógica para as linhas 1, 2, 5 e 6 que usei nas linhas 4 e 7 - por exemplo, para a linha 1:

porque E [ ϵ t - 1 ] = 0 .θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0E[ϵt1]=0

Da mesma forma para as linhas 2, 5 e 6. Mas eu tenho uma solução de modelo que sugere que a expressão para simplifica para:γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

Isso sugere que minha simplificação, conforme descrito acima, perderia o termo com o coeficiente - que, na minha lógica, deveria ser 0. A minha lógica está errada ou a solução de modelo que achei incorreta?ϕ1

A solução trabalhada também sugere que "analogamente" pode ser encontrado como:γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

e para :k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

Espero que a pergunta seja clara. Qualquer assistência será muito apreciada. Agradeço antecipadamente.

Esta é uma pergunta relacionada à minha pesquisa e não está em preparação para nenhum exame ou curso.

hidrologista
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Respostas:

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Se o processo ARMA é causal, existe uma fórmula geral que fornece os coeficientes de autocovariância.

ARMA(p,q) process

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
where ϵt is a white noise with mean zero and variance σϵ2. By the causality property, the process can be written as
yt=j=0ψjϵtj,
where ψj denotes the ψ-weights.

The general homogeneous equation for the autocovariance coefficients of a causal ARMA(p,q) process is

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
with initial conditions
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).
QuantIbex
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Your calculation mistake in your original question lies in

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

You cannot separate the expectation E[ϵt1yt1] - ϵt1 and yt1 are not independent.

Alecos Papadopoulos
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As you can see from my update (below) I realised this soon after completing the post - but many thanks for your help!
hydrologist
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OK. So the process of writing the post actually pointed me to the solution.

Consider the Expectation terms 1, 2, 5 and 6 from above that I thought should be 0.

Immediately for terms 5 - E[ϵtyt1] - and 6 - E[ϵtyt2]: these terms are definitely zero, because yt1 and yt2 are independent of ϵt and E[ϵt]=0.

However, terms 1 and 2 look as though the Expectation is of two correlated variables. So, consider the expressions for yt1 and yt2 thus:

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

And recall term 1 - ϕ1θ1E[ϵt1yt1]. If we multiply both sides of the expression for yt1 by ϵt1 and then take Expectations, it is clear that all terms on the right hand side except the last become zero (because the values of yt2, yt3, and ϵt2 are independent of ϵt1 and E[ϵt1]=0) to give:

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

So term 1 becomes +ϕ1θ1σϵ2. For term 2, it should be clear that, by the same logic, all terms are zero.

Hence the original model answer was correct.

However, if anyone can suggest an alternative way to obtain a general (even if messy) solution, I would be very pleased to hear it!

hydrologist
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