Preciso derivar expressões analíticas para a função de autocovariância de um processo ARMA (2,1) indicado por:
Então, eu sei que:
para que eu possa escrever:
então, para derivar a versão analítica da função de autocovariância, preciso substituir valores de - 0, 1, 2 ... até obter uma recursão válida para todos os k maiores que algum número inteiro.
Portanto, substituo e resolvo isso para obter:
agora eu posso simplificar os dois primeiros termos e substituir como antes:
então multiplico os oito termos, que são:
Portanto, estou precisando resolver os quatro termos restantes. Quero usar a mesma lógica para as linhas 1, 2, 5 e 6 que usei nas linhas 4 e 7 - por exemplo, para a linha 1:
porque E [ ϵ t - 1 ] = 0 .
Da mesma forma para as linhas 2, 5 e 6. Mas eu tenho uma solução de modelo que sugere que a expressão para simplifica para:
Isso sugere que minha simplificação, conforme descrito acima, perderia o termo com o coeficiente - que, na minha lógica, deveria ser 0. A minha lógica está errada ou a solução de modelo que achei incorreta?
A solução trabalhada também sugere que "analogamente" pode ser encontrado como:
e para :
Espero que a pergunta seja clara. Qualquer assistência será muito apreciada. Agradeço antecipadamente.
Esta é uma pergunta relacionada à minha pesquisa e não está em preparação para nenhum exame ou curso.
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OK. So the process of writing the post actually pointed me to the solution.
Consider the Expectation terms 1, 2, 5 and 6 from above that I thought should be 0.
Immediately for terms 5 -E[ϵtyt−1] - and 6 - E[ϵtyt−2] : these terms are definitely zero, because yt−1 and yt−2 are independent of ϵt and E[ϵt]=0 .
However, terms 1 and 2 look as though the Expectation is of two correlated variables. So, consider the expressions foryt−1 and yt−2 thus:
And recall term 1 -ϕ1θ1E[ϵt−1yt−1] . If we multiply both sides of the expression for yt−1 by ϵt−1 and then take Expectations, it is clear that all terms on the right hand side except the last become zero (because the values of yt−2 , yt−3 , and ϵt−2 are independent of ϵt−1 and E[ϵt−1]=0 ) to give:
So term 1 becomes+ϕ1θ1σ2ϵ . For term 2, it should be clear that, by the same logic, all terms are zero.
Hence the original model answer was correct.
However, if anyone can suggest an alternative way to obtain a general (even if messy) solution, I would be very pleased to hear it!
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