A regressão de x em y é claramente melhor do que y em x neste caso?

Um instrumento usado para medir os níveis de glicose no sangue de uma pessoa é monitorado em uma amostra aleatória de 10 pessoas. Os níveis também são medidos usando um procedimento laboratorial muito preciso. A medida do instrumento é denotada por x. A medida do procedimento de laboratório é denotada por y.

Pessoalmente, acho que y em x é mais correto, porque a intenção é usar as leituras do instrumento para prever as leituras do laboratório. E y em x minimiza os erros de tais previsões.

Mas a resposta fornecida foi x em y.

Muitos trabalhos de laboratório, especialmente as experiências de teste por instrumentos, aplicam tal regressão x em y.

Eles argumentam que, a partir da coleta de dados no experimento, as condições y são controladas e obtêm x da leitura do instrumento (introduzindo algum erro). Este é o modelo físico original do experimento, portanto o erro x ~ y + é mais adequado.

Para minimizar o erro do experimento, às vezes, y sendo controlado na mesma condição, x é medido por várias vezes (ou experimento repetido). Este procedimento pode ajudá-lo a entender a lógica por trás deles e a encontrar o erro x ~ y + mais claramente.

$Y\text{ on }X$$X\text{ on }Y$

$Y$$X$$Y\text{ on }X$$X$

$X\text{ on }Y$$Y$$X$

$X\text{ on }Y$$Y$

$X\text{ on }Y$

Previsão e previsão

Sim, você está correto. Quando você vê isso como um problema de previsão, uma regressão Y-X fornece um modelo tal que, dada uma medida do instrumento, você pode fazer uma estimativa imparcial da medida exata do laboratório, sem executar o procedimento de laboratório. .

$E[Y|X]$

Isso pode parecer contra-intuitivo, porque a estrutura de erro não é a "real". Supondo que o método de laboratório seja um método padrão livre de erros, então "sabemos" que o verdadeiro modelo de geração de dados é

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

$Y_i$$\epsilon_i$$E[\epsilon]=0$

$E[Y_i|X_i]$

$Y_i = \frac{X_i - \epsilon}{\beta}$

$X_i$

$E[Y_i|X_i] = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} E[\epsilon_i|X_i]$

$E[\epsilon_i|X_i]$$\epsilon$$X$

Explicitamente, sem perda de generalidade, podemos deixar

$\epsilon_i = \gamma X_i + \eta_i$

$E[\eta_i|X] = 0$

$Y_I = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

$Y_I = \frac{1-\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

$\eta$$\beta$$\beta$$\sigma$

$Y_I = {\alpha} X_i + \eta_i$

$\beta$

Análise de Instrumentos

A pessoa que fez essa pergunta claramente não queria a resposta acima, pois diz que o X-Y-Y é o método correto, então por que eles queriam isso? Provavelmente eles estavam considerando a tarefa de entender o instrumento. Conforme discutido na resposta de Vincent, se você quiser saber sobre o comportamento do instrumento, o X-on-Y é o caminho a seguir.

Voltando à primeira equação acima:

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

$E[X_i|Y_i] = Y_i$$X$$\beta$

Encolhimento

$Y$$E[Y|X]$$\gamma$$E[Y|X]$$Y$. Isso leva a conceitos como bayes de regressão à média e empíricos.

Exemplo em R Uma maneira de entender o que está acontecendo aqui é fazer alguns dados e experimentar os métodos. O código abaixo compara X-Y com Y-X sobre previsão e calibração e você pode ver rapidamente que X-Y não é bom para o modelo de previsão, mas é o procedimento correto para calibração.

library(data.table)
library(ggplot2)

N = 100
beta = 0.7
c = 4.4

DT = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

YonX = DT[, lm(Y~X)]   # Y = alpha_1 X + alpha_0 + eta
XonY = DT[, lm(X~Y)]   # X = beta_1 Y + beta_0 + epsilon


YonX.c = YonX$coef[1]   # c = alpha_0
YonX.m = YonX$coef[2]   # m = alpha_1

# For X on Y will need to rearrage after the fit.
# Fitting model X = beta_1 Y + beta_0
# Y = X/beta_1 - beta_0/beta_1

XonY.c = -XonY$coef[1]/XonY$coef[2]      # c = -beta_0/beta_1
XonY.m = 1.0/XonY$coef[2]  # m = 1/ beta_1

ggplot(DT, aes(x = X, y =Y)) + geom_point() +  geom_abline(intercept = YonX.c, slope = YonX.m, color = "red")  +  geom_abline(intercept = XonY.c, slope = XonY.m, color = "blue")

# Generate a fresh sample

DT2 = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT2[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT2[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT2[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])

# Generate lots of samples at the same Y

DT3 = data.table(Y = 4.0, epsilon = rt(N,8))
DT3[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT3[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT3[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])

ggplot(DT3) + geom_density(aes(x = YonX.predict), fill = "red", alpha = 0.5) + geom_density(aes(x = XonY.predict), fill = "blue", alpha = 0.5) + geom_vline(x = 4.0, size = 2) + ggtitle("Calibration at 4.0")

As duas linhas de regressão são plotadas sobre os dados

E o erro da soma dos quadrados para Y é medido para os dois ajustes em uma nova amostra.

> cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
YonX sum of squares error for prediction:  77.33448
> cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])
XonY sum of squares error for prediction:  183.0144

Alternativamente, uma amostra pode ser gerada em um Y fixo (neste caso 4) e, em seguida, na média das estimativas feitas. Agora você pode ver que o preditor Y-on-X não está bem calibrado com um valor esperado muito menor que Y. O preditor X-Y-Y está bem calibrado com um valor esperado próximo a Y.

> cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4:  1.305579
> cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])
Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4:  3.465205

A distribuição das duas previsões pode ser vista em um gráfico de densidade.

Depende de suas suposições sobre a variação de X e a variação de Y para os Mínimos Quadrados Ordinários. Se Y tem a única fonte de variação e X tem variação zero, use X para estimar Y. Se as premissas são inversas (X tem a única variação e Y tem variação zero), use Y para estimar X.

Se presumir que X e Y têm variação, pode ser necessário considerar o total de mínimos quadrados .

Uma boa descrição do TLS foi escrita neste link . O documento é voltado para o comércio, mas a seção 3 faz um bom trabalho ao descrever o TLS.

Edit 1 (09/10/2013) =========================================== ======

Originalmente, assumi que isso era algum tipo de problema de lição de casa, então não fui muito específico sobre "a resposta" à pergunta do OP. Mas, depois de ler outras respostas, parece que tudo bem ficar um pouco mais detalhado.

Citando parte da pergunta do PO:

".... Os níveis também são medidos usando um procedimento laboratorial muito preciso ...."

A declaração acima diz que existem duas medições, uma do instrumento e outra do procedimento de laboratório. A declaração também implica que a variação para o procedimento de laboratório é baixa em comparação com a variação para o instrumento.

Outra citação da pergunta do OP é:

".... A medida do procedimento laboratorial é indicada por y ....."

Portanto, pelas duas afirmações acima, Y tem a menor variação. Portanto, a técnica menos propensa a erros é usar Y para estimar X. A "resposta fornecida" estava correta.