Considere um Jeffreys anterior onde , ondeé a informação de Fisher.
Eu continuo vendo esse prior sendo mencionado como um prior não informativo, mas nunca vi um argumento sobre por que ele não é informativo. Afinal, não é um constante constante, então deve haver outro argumento.
Entendo que isso não depende de reparametrização, o que me leva à próxima pergunta. Será que o determinante da informação de Fisher não depende de reparametrização? Porque as informações de Fisher definitivamente dependem da parametrização do problema.
Obrigado.
Respostas:
É considerado não informativo devido à invariância da parametrização. Você parece ter a impressão de que um anterior uniforme (constante) não é informativo. Às vezes é, às vezes não é.
O que acontece com o anterior de Jeffreys em uma transformação é que o jacobiano da transformação é sugado para as informações originais de Fisher, o que acaba fornecendo as informações de Fisher sob a nova parametrização. Sem mágica (pelo menos na mecânica), apenas um pouco de cálculo e álgebra linear.
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O prior de Jeffreys coincide com o anterior de Bernardo para o espaço paramétrico unidimensional (e modelos "regulares"). Grosso modo, é o prior para o qual a divergência de Kullback-Leibler entre o prior e o posterior é máxima. Essa quantidade representa a quantidade de informações trazidas pelos dados. É por isso que o prior é considerado não informativo: é o único para o qual os dados trazem a quantidade máxima de informações.
A propósito, não sei se Jeffreys estava ciente dessa caracterização de seu anterior.
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Eu diria que não é absolutamente não informativo, mas minimamente informativo. Ele codifica o conhecimento prévio (bastante fraco) de que você sabe que seu estado anterior de conhecimento não depende de sua parametrização (por exemplo, as unidades de medida). Se o seu estado anterior de conhecimento fosse precisamente zero, você não saberia que o seu anterior era invariável a essas transformações.
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