Qual é a mediana de uma distribuição t não central?

Qual é a mediana da distribuição t não central com parâmetro de não centralidade ? Essa pode ser uma pergunta sem esperança, porque o CDF parece ser expresso como uma soma infinita e não consigo encontrar nenhuma informação sobre a função inversa do CDF.$\delta \ne 0$

Você pode aproximar.

Por exemplo, fiz os seguintes ajustes não lineares para $\nu$ (graus de liberdade) de 1 a 20 e $\delta$ (parâmetro de não centralidade) de 0 a 5 (nas etapas de 1/2). Deixei

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

e

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

Então estima a mediana entre 0,15 para , 0,03 para , 0,015 para e 0,007 para .ν = 1 ν = 2 ν = 3 ν = 4 , 5 , … , $g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

A estimativa foi feita calculando os valores de e para cada valor de de 1 a 20 e, em seguida, ajustando separadamente e a . I examinados parcelas de e , para determinar uma forma funcional adequada para estes ataques.b ν a b ν a $a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

Você pode fazer melhor concentrando-se nos intervalos desses parâmetros de seu interesse. Em particular, se você não estiver interessado em valores realmente pequenos de poderá melhorar facilmente essas estimativas, provavelmente dentro de 0,005 de forma consistente.$\nu$

Aqui estão gráficos da mediana versus para , o caso mais difícil e os resíduos negativos (mediana verdadeira menos valor aproximado) versus :ν = 1 $\delta$$\nu=1$ $\delta$

Os resíduos são realmente pequenos em comparação com as medianas.

Aliás, para todos os graus de liberdade, exceto os menores, a mediana está próxima do parâmetro de não centralidade. Aqui está um gráfico da mediana, para de 0 a 5 e (tratado como um parâmetro real) de 1 a 20.$\delta$$\nu$

Para muitos propósitos, usar para estimar a mediana pode ser bom o suficiente. Aqui está um gráfico do erro (relativo a ) feito assumindo que a mediana é igual a (para de 2 a 20).δ δ $\delta$$\delta$$\delta$$\nu$

Se você estiver interessado em (graus de liberdade) ν> 2, a seguinte expressão assintótica [derivada de uma aproximação interpolativa ao quantil não central do aluno-t, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] é suficientemente preciso para muitos propósitos:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Com ν> 2, a magnitude máxima do viés da expressão acima em relação à mediana não central do aluno-t é de cerca de 2% e diminui rapidamente com o aumento de ν. O diagrama de contorno mostra o viés da aproximação assintótica em relação à mediana não central do aluno-t: