Estatísticas não é matemática?

Estatísticas é matemática ou não?

Dado que são todos os números, principalmente ensinados pelos departamentos de matemática e você recebe créditos por isso, me pergunto se as pessoas apenas falam de brincadeira quando dizem isso, como dizer que é uma parte menor da matemática ou apenas matemática aplicada.

Gostaria de saber se algo como estatística, onde você não pode construir tudo sobre axiomas básicos, pode ser considerado matemática. Por exemplo, o valor- , que é um conceito que surgiu para dar sentido aos dados, mas não é uma consequência lógica de princípios mais básicos.$p$

A matemática lida com abstrações idealizadas que (quase sempre) têm soluções absolutas, ou o fato de que essa solução não existe geralmente pode ser descrito completamente. É a ciência de descobrir conseqüências complexas, mas necessárias, de axiomas simples.

A estatística usa matemática, mas não é matemática. É uma adivinhação educada. É jogo.

A estatística não lida com abstrações idealizadas (embora use algumas como ferramentas), lida com fenômenos do mundo real. As ferramentas estatísticas geralmente fazem suposições simplificadoras para reduzir os confusos dados do mundo real para algo que se encaixa no domínio do problema de uma abstração matemática resolvida. Isso nos permite fazer suposições bem-educadas, mas isso é realmente tudo o que as estatísticas são: a arte de fazer suposições muito bem informadas.

Considere o teste de hipóteses com valores-p. Digamos que estamos testando alguma hipótese com significância e, após a coleta de dados, encontramos um valor-p de 0,001 . Portanto, rejeitamos a hipótese nula em favor de uma hipótese alternativa.$\alpha = 0.01$$0.001$

Mas qual é esse valor p realmente? Qual é o significado? Nossa estatística de teste foi desenvolvida de modo a estar em conformidade com uma distribuição específica, provavelmente o t do aluno. Sob a hipótese nula, o percentil de nossa estatística de teste observada é o valor p. Em outras palavras, o valor p dá a probabilidade de obtermos um valor tão longe da expectativa da distribuição (ou mais) quanto a estatística de teste observada. O nível de significância é um ponto de corte bastante arbitrário: configurá-lo para equivale a dizer: "é aceitável se 1 em 100 repetições deste experimento sugerir que rejeitemos o nulo, mesmo que o nulo seja de fato verdadeiro. "$0.01$

O valor p nos dá a probabilidade de observarmos os dados disponíveis, uma vez que o nulo é verdadeiro (ou melhor, ficando um pouco mais técnico, que observamos os dados sob a hipótese nula que nos dá um valor pelo menos tão extremo quanto o estatística testada como a que encontramos). Se vamos rejeitar o nulo, queremos que essa probabilidade seja pequena, se aproxime de zero. Em nosso exemplo específico, descobrimos que a probabilidade de observar os dados que coletamos se a hipótese nula fosse verdadeira era de apenas ; portanto, rejeitamos o nulo. Este foi um palpite. Nós nunca realmente sabe com certeza que a hipótese nula é falsa usando esses métodos, nós apenas desenvolver uma medida de como fortemente nossa evidência suporta a alternativa.$0.1\%$

Usamos matemática para calcular o valor de p? Certo. Mas a matemática não nos deu a nossa conclusão. Com base nas evidências, formamos uma opinião educada, mas ainda é uma aposta. Descobrimos que essas ferramentas são extremamente eficazes nos últimos 100 anos, mas as pessoas do futuro podem se horrorizar com a fragilidade de nossos métodos.

Língua firmemente na bochecha:

Einstein aparentemente escreveu

Na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, elas não são certas; e na medida do certo, eles não se referem à realidade.

então a estatística é o ramo da matemática que descreve a realidade. ; o)

Eu diria que a estatística é um ramo da matemática da mesma maneira que a lógica é um ramo da matemática. Certamente inclui um elemento da filosofia, mas não acho que seja o único ramo da matemática em que esse seja o caso (ver, por exemplo, Morris Kline, "Matemática - A perda de certeza", Oxford University Press, 1980).

Bem, se você diz que " algo como estatística, onde você não pode construir tudo sobre axiomas básicos ", provavelmente deveria ler sobre a teoria axiomática da probabilidade de Kolmogorov. Kolmogorov define probabilidade de uma maneira abstrata e axiomática, como você pode ver neste pdf na página 42 ou aqui na parte inferior da página 1 e nas próximas páginas .

Apenas para dar uma amostra de suas definições abstratas, ele define uma variável aleatória como uma função 'mensurável', conforme explicado de uma maneira mais 'intuitiva': se uma variável aleatória é uma função, como definir uma função de uma variável aleatória? variável aleatória

Com um número muito limitado de axiomas e usando resultados da teoria das medidas (novamente matemática), ele pode definir conceitos como variáveis ​​aleatórias, distribuições, probabilidade condicional ... de maneira abstrata e obter todos os resultados conhecidos, como a lei dos grandes números, ... deste conjunto de axiomas. Aconselho você a experimentá-lo e ficará surpreso com a beleza matemática disso.

Para uma explicação sobre os valores-p, refiro-me a: Entendendo mal um valor-P?

Não tenho uma base rigorosa ou filosófica para responder a isso, mas ouvi a queixa de "estatísticas não é matemática" frequentemente de pessoas, geralmente tipos de física. Acho que as pessoas querem garantir certeza de suas contas, e a estatística (geralmente) oferece apenas conclusões probabilísticas com valores de p associados. Na verdade, é exatamente isso que eu amo nas estatísticas. Vivemos em um mundo fundamentalmente incerto e fazemos o melhor que podemos para entendê-lo. E fazemos um ótimo trabalho, considerando tudo.

Talvez seja porque eu sou um plebe e não fiz nenhum curso avançado de matemática, mas não vejo por que estatística não é matemática. Os argumentos aqui e em uma pergunta duplicada parecem argumentar dois pontos principais sobre o motivo pelo qual a estatística não é matemática ^* .

1. Não é exato / certo e, como tal, se baseia em suposições.
2. Aplica matemática a problemas e sempre que você aplica matemática, não é mais matemática.

Não é exato e usa suposições

Pressupostos / aproximações são úteis para muita matemática.

As propriedades de um triângulo que eu aprendi na escola são consideradas verdadeiras matemáticas, mesmo que não sejam verdadeiras na geometria não elucidiana. Tão claramente a admissão dos limites, ou declarado de outra maneira "assumindo que XYZ é válido", para um ramo da matemática não desqualifica o ramo de ser "verdadeiro".

Cálculo, tenho certeza, seria considerado uma forma pura de matemática, mas os limites são a ferramenta principal em que a construímos. Podemos continuar calculando até o limite, da mesma forma que podemos continuar aumentando o tamanho da amostra, mas também não aumentamos o insight após um certo limite.

Depois de aplicar matemática, não é matemática

A contradição óbvia aqui é que usamos a matemática para provar teoremas matemáticos, e ninguém argumenta que provar teoremas matemáticos não é matemática.

A próxima afirmação pode ser que thing xnão é matemática se você usar matemática para obter um resultado. Isso também não faz sentido.

A afirmação com a qual eu concordo é que, quando você usa os resultados de um cálculo para tomar uma decisão, a decisão não é matemática . Isso não significa que a análise que leva à decisão não seja matemática .

Acho que quando usamos análise estatística toda a matemática realizada é matemática real. Somente quando entregamos os resultados a alguém para interpretação, as estatísticas saem da matemática. Assim, estatísticas e estatísticos estão realizando matemática e são matemáticos reais. É a interpretação feita pelo negócio e / ou a tradução dos resultados para o negócio pelo estatístico que não é matemática.

Dos comentários:

whuber disse:

Se você substituísse "estatística" por "química", "economia", "engenharia" ou qualquer outro campo que emprega matemática (como a economia doméstica), parece que nenhum dos seus argumentos mudaria.

Penso que a principal diferença entre "química", "engenharia" e "equilibrar meu talão de cheques" é que esses campos usam apenas conceitos matemáticos existentes . Entendo que estatísticos como Guass expandiram o corpo de conceitos matemáticos. Acredito ^{(isso pode estar descaradamente errado)} que, para obter um PhD em estatística, você precisa contribuir, de alguma forma, para expandir o corpo de conceitos matemáticos. Os candidatos a doutorado em Química / Engenharia não têm esse requisito para meu conhecimento.

A distinção de que a estatística contribui para o corpo dos conceitos matemáticos é o que a diferencia dos outros campos que apenas usam conceitos matemáticos .

*: A exceção notável é esta resposta que afirma efetivamente que os limites são artificiais devido a várias razões sociais. Eu acho que é a única resposta verdadeira, mas onde está a graça nisso? ;)

Testes estatísticos, modelos e ferramentas de inferência são formulados na linguagem da matemática, e os estatísticos provaram matematicamente livros espessos de resultados muito importantes e interessantes sobre eles. Em muitos casos, as provas fornecem evidências convincentes de que as ferramentas estatísticas em questão são confiáveis ​​e / ou poderosas.

A estatística e sua comunidade podem não ser "puras" o suficiente para matemáticos de um certo gosto, mas definitivamente são investidas em matemática de maneira extremamente profunda, e a estatística teórica é tanto um ramo da matemática quanto a física teórica ou a ciência da computação teórica.

A "diferença" se baseia em: raciocínio indutivo vs. raciocínio dedutivo vs. inferência. Por exemplo, nenhum teorema matemático pode dizer qual distribuição ou anterior você pode usar para seus dados / modelo.

A propósito, as estatísticas bayesianas são uma área axiomatizada.

Essa pode ser uma opinião muito impopular, mas, dada a história e a formulação de conceitos de estatística (e teoria das probabilidades), considero a estatística um sub-ramo da física .

De fato, Gauss formalizou inicialmente o modelo de regressão de mínimos quadrados em previsões astronômicas. A maioria das contribuições à estatística antes de Fisher eram de físicos (ou matemáticos altamente aplicados cujo trabalho seria chamado de física pelos padrões de hoje): Lyapunov, De Moivre, Gauss e um ou mais Bernoullis.

O princípio geral é a caracterização de erros e a aparente aleatoriedade propagada a partir de um número infinito de fontes de variação não medidas. À medida que as experiências se tornaram mais difíceis de controlar, os erros experimentais precisavam ser formalmente descritos e contabilizados para calibrar a preponderância das evidências experimentais contra o modelo matemático proposto. Mais tarde, à medida que a física de partículas mergulhou na física quântica , a formalização de partículas como distribuições aleatórias deu uma linguagem muito mais concisa para descrever a aleatoriedade aparentemente incontrolável com fótons e elétrons.

As propriedades dos estimadores, como sua média (centro de massa) e desvio padrão (segundo momento dos desvios), são muito intuitivas para os físicos. A maioria dos teoremas de limites pode ser pouco ligada à lei de Murphy, ou seja, que a distribuição normal limitante é a entropia máxima.

Portanto, a estatística é uma sub-ramificação da física.