Dois efeitos principais negativos e efeito de interação positivo?

Eu tenho dois efeitos principais, V1 e V2. Os efeitos de V1 e V2 nas variáveis ​​de resposta são negativos. No entanto, por algum motivo, estou obtendo coeficiente positivo para o termo de interação V1 * V2. Como posso interpretar isso? essa situação é possível?

Certamente. Como um exemplo simples, considere um experimento em que você está adicionando certos volumes de água quente (V1) e fria (V2) a um tanque de peixes que começa na temperatura correta. A variável de resposta (V3) é o número de peixes que sobrevivem após um dia. Intuitivamente, se você adicionar apenas água quente (a V1 aumenta), muitos peixes morrerão (a V3 diminui). Se você adicionar apenas água fria (o aumento da V2), muitos peixes morrerão (o V3 diminui). Mas se você adicionar água quente e fria (V1 e V2 aumenta, portanto V1 * V2 aumenta), o peixe ficará bem (V3 permanece alto), portanto a interação deve neutralizar os dois efeitos principais e ser positiva.

Abaixo, criei 18 pontos de dados imitando a situação acima e ajustei a regressão linear múltipla em R e incluí a saída. Você pode ver os dois efeitos principais negativos e a interação positiva na última linha. Você pode deixar V1 = litros de água quente, V2 = litros de água fria e V3 = número de peixes vivos após um dia.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563  

Uma maneira alternativa de olhar a situação para o exemplo brilhante de @ underminer é observar que, sob regressão de mínimos quadrados, seus valores ajustados satisfazem "restrições de correlação"

$x_{ik}$

$V1$

$\beta_1$$V1$