Geometria algébrica para estatística

Eu ouvi falar sobre o uso da geometria algébrica em estatística e aprendizado de máquina. Eu queria tentar aprender um pouco sobre esses tópicos. Não sei quase nada sobre geometria algébrica, mas tenho formação em matemática e sei sobre teoria básica de grupos, campos em anel e alguma álgebra comutativa. Minhas perguntas são:

1. Quais são os conceitos de Algebriac Geometric que devo aprender relacionados a aplicativos em Stats / ML (suponho que apenas uma parte do que geralmente é ensinado nos cursos e livros de Algebraic Geometric é útil).

2. Você pode recomendar alguns livros / trabalhos introdutórios para alguém com minha formação? Não estou falando de livros-texto padrão para a AG, mas de algo que se concentra nos conceitos usados ​​nas aplicações.

Aqui está uma lista das referências padrão:

• Drton, Sturmfels e Sullivant, Palestras sobre Estatística Algébrica
• Pachter, Sturmfels, Estatística Algébrica de Biologia Computacional
• Pistone, Riccomagno, Wynn, Estatística Algébrica: Álgebra Comutativa Computacional em Estatística
• Sullivant, Algebraic Statistics
• Zwiernik, Estatística Semialgebraica e Modelos de Árvores Latentes
• Riccomagno, Uma Breve História da Estatística Algébrica

Aqui está uma lista de referências relacionadas, que não abordam diretamente as estatísticas algébricas, embora forneçam um histórico da metodologia usada para o assunto:

• Lauritzen, Modelos Gráficos
• Lauritzen, Álgebra Abstrata Concreta
• Pérola, Causalidade: Modelos, Raciocínio e Inferência
• Cox, Little, O'Shea, Ideais, Variedades e Algoritmos: Uma Introdução à Geometria Algébrica Computacional e Álgebra Comutativa
• Garrity, Belshoff, Boos, et al., Geometria Algébrica: Uma Abordagem de Resolução de Problemas
• Sturmfels, resolvendo sistemas de equações polinomiais
• Uhler, Geometria da estimativa de máxima verossimilhança em modelos gráficos

Páginas da Web de cursos sobre o tópico, passado e presente:

• Curso do professor Sturmfels em Berkeley
• Curso na TU Berlim
• Seminário na Freie Universität, Berlim
• Conferência na Universidade de Gênova
• Seminário de Estatística Algébrica de Berkeley

Essas listas quase certamente não são abrangentes.

• Sumio Watanabe, Geometria Algébrica e Teoria Estatística da Aprendizagem , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 2009.

Certamente influente, este livro lança as bases para o uso da geometria algébrica na teoria estatística do aprendizado. Muitos modelos estatísticos amplamente utilizados e máquinas de aprendizado aplicadas à ciência da informação têm um espaço de parâmetro singular: modelos de mistura, redes neurais, HMMs, redes bayesianas e gramáticas estocásticas sem contexto são exemplos importantes. A geometria algébrica e a teoria da singularidade fornecem as ferramentas necessárias para o estudo de modelos não suaves. Quatro fórmulas principais são estabelecidas:

1. a função de verossimilhança de log pode receber um formulário padrão comum usando a resolução de singularidades, mesmo aplicada a modelos mais complexos;

2. o comportamento assintótico da probabilidade marginal ou 'a evidência' é derivado com base na teoria da função zeta;

3. novos métodos são derivados para estimar os erros de generalização nas estimativas de Bayes e Gibbs a partir de erros de treinamento;

4. os erros de generalização dos métodos de máxima verossimilhança e a posteriori são esclarecidos pela teoria empírica do processo em variedades algébricas.