Pode-se simplesmente usar o teorema de Boltzmann que está no próprio artigo da Wikipedia que você aponta .
Observe que especificar a média e a variância equivale a especificar os dois primeiros momentos brutos - cada um determina o outro (não é realmente necessário invocar isso, pois podemos aplicar o teorema diretamente à média e à variância, é apenas um pouco mais simples dessa maneira )
O teorema estabelece então que a densidade deve ter a forma:
f(x)=cexp(λ1x+λ2x2) for all x≥0
A integrabilidade na linha real positiva restringirá a ≤ 0 , e acho que impõe algumas restrições às relações entre os λλ2≤0λ s (que presumivelmente serão satisfeitos automaticamente ao iniciar a média e a variação especificadas, e não nos momentos brutos).
Para minha surpresa (já que eu não esperava isso quando iniciei esta resposta), isso parece nos deixar com uma distribuição normal truncada.
Por acaso, acho que não usei esse teorema antes; portanto, críticas ou sugestões úteis sobre qualquer coisa que não tenha considerado ou deixado de lado seriam bem-vindas.
Quero tornar a resposta do @ Glen_b mais explícita. Aqui está uma resposta extra apenas porque ela não se encaixa como um comentário.
Esta pergunta é uma duplicata do /math/598608/what-is-the-maximum-entropy-distribution-for-a-continuous-random-variable-on-0
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